Che lo zero, con tutte le sue potenzialità e con la numerazione posizionale fosse stato frutto della matematica indiana è un’ipotesi che getta nello sconcerto quelli che vogliono attribuire alla Grecia ed all’Occidente tutto lo scibile possibile ed immaginabile.

Per questo motivo si è tentato in tutti i modi di attribuire ai Greci l’invenzione dello zero e del principio posizionale pur senza portare argomentazioni e prove cogenti. Tra i protagonisti di questi tentativi vanno annoverati P.Tannery, G.R.Kaye e D.Pingree, in Italia segue questa linea Lucio Russo. C’è stata ovviamente una reazione nazionalistica indiana altrettanto enfatica tra cui vanno annoverati Datta e Singh, ed in parte Gheverghese. Non si riuscirà ad avere una visione equilibrata della situazione delle culture extra-europee sin quando rimarranno i rapporti imperialistici di potenza a livello internazionale.

Prima di analizzare però questa polemica storiografica è bene seguire inizialmente le tesi di G.Ifrah, che attribuisce all’India (dopo le notevoli approssimazioni babilonesi,cinesi e maya) la paternità di questa rivoluzionaria scoperta:

Gli Indiani hanno avuto nel corso della loro storia tre tipi di numerazione:

Circa la serie di cifre brahmi si può anche ipotizzare che il 2 ed il 3 fossero stilizzazioni delle sequenze di trattini usate dalle popolazioni precedenti, che il 5 sia stato mutuato dalla Cina e il 7 ed il 9 dallo ieratico egizio.

Comunque il principio di formazione dei numeri era additivo e la base numerica era decimale: veniva data una cifra speciale alle 9 cifre, a tutte le decine, le centinaia, le migliaia e le decine di migliaia; o meglio, la potenza di un numero (es. 40 che è potenza di 4 ) veniva indicata con un 4 più un determinativo corrispondente dell’ordine numerico richiesto.

Es. 7629 era 7000+600+20+9 (7x1000+6x100+2x10+9)

Tuttavia in questo modo le operazioni aritmetiche non erano possibili e la cifra più alta che fosse esprimibile era 99.999, cosa che non poteva soddisfare i sapienti e gli astronomi indiani, affetti da una vera follia dei grandi numeri (quasi hegelianamente si potrebbe dire che la matematica indiana fosse assillata dalla mala infinità, che però in questo caso è stato uno stimolo positivo). A questo proposito va citato un racconto indiano dove nel Palazzo di Indra, re degli Dei c’era una colonna di formiche alta 4 metri; ogni formica sarebbe lo stesso Indra, signore di uno degli innumerevoli universi che galleggiano fianco a fianco, come fragili imbarcazioni nello spazio infinito: ogni Indra vive 71 eoni e le vite di 28 Indra sono 1 giorno ed 1 notte nella vita di Brahma, la cui esistenza dura 108 anni di quei giorni, e prima e dopo Brahma, c’è a sua volta una catena senza fine di Brahma...

Ancora va citato il Lalitavishtara, una vita di Buddha del I sec. d.C., dove il giovane Gautama in gara per la mano di una fanciulla deve sostenere una tenzone di matematica e nominare tutti gli ordini numerici dopo 10⁷, con ciascun ordine 100 volte maggiore del precedente : il principe va fino a 10⁴²¹ , poi nomina tutti gli atomi di uno yojana (equivalente ad una lega = 5 km) con la seguente scansione:

7 atomi più fini formano un granello fine

7 granelli fini formano un granellino

7 granellini una particella visibile in un raggio di sole

7 particelle un grano di un coniglio

7 particelle/coniglio un grano di un montone

7 grani/montone un grano di bue

7 grani/bue un seme di papavero

Poi di fattore 7 in fattore 7 (molte filastrocche compreso un problema del papiro di Ahmes contemplano tale fattore) Gautama giunge al seme di senape, al chicco d’orzo, alle nocche

12 nocche una spanna (sistema di provenienza egizia)

2 spanne un cubito

4 cubiti un tiro d’arco

1000 tiri d’arco un grido nella terra di Magadha

4 grida uno yojana

Per un totale di 384000 x 7¹⁰  

Gautama poi nomina tutti gli atomi del mondo e conclude che tale computo è possibile solo a  chi ha raggiunto l’ultima esistenza e dice: “Questa è la fine dei calcoli. Di qui in poi comincia l’Incalcolabile”.

Una prima soluzione comunque al problema dei grandi numeri fu il ricorso ai nomi della lingua sanscrita, sistema mutuato dalla numerazione orale ed analogo al sistema numerico letterale di matrice greco-latina.

Questo sistema aveva in nuce il principio posizionale e lo zero, e, cosa importante, dava un nome particolare ad ognuno dei primi nove numeri.

1= eka             3709=  nava sapta sata ca trisahasra = nove (nava) settecento (sapta sata) e tremila

2= dvi                                                                                     (trisahasra)

3= tri

4= catur

5= panca

6= sat

7= sapta

8= asta

9= nava    

Differentemente da noi, gli Indiani avevano per le potenze dei numeri indipendenti, derivanti forse da determinativi tipici dei sistemi moltiplicativi:

10= dasa                     10.000.000= koti                                10.000.000.000.000= sankha

100= sata                    100.000.000=            vyarbuda                    100.000.000.000.000= samdra

1000=            sahasra            1.000.000.000= padma             1.000.000.000.000.000= madhya

10.000= ayuta                        10.000.000.000= kharva                        10.000.000.000.000.000=antya

100.000= laksa            100.000.000.000= nikharva             100.000.000.000.000.000= pararddha

1.000.000= prayuda            1.000.000.000.000= mahapadma

446.742.173.729.551.636 = sat, tri dasa, sat sata, eka sahasra, panca ayuta, panca laksa, nava prayuda, dvi koti, sapta vyarbuda, tri padma, sapta kharva, eka nikharva, dvi mahapadma, catur sankha, sapta samdra, sat madhya, catur antya, catur pararddha.

L’elenco del Lalitavisthara è diverso data la frequenza di sinonimi e di categorizzazioni diverse a seconda del periodo di redazione della fonte:

10⁹ = ayuta                 10¹⁹ = vivaha                         10³¹ = vyavasthanaprajapti

10¹¹ = niyuta              10²¹ = utsanga                      10⁵³ = tallaksana

10¹³ = kankara            10²³ = bahula                                    10³⁷ = samaptalambha

10¹⁵ = vivara               10²⁵ = nagabala                    10⁴⁷ = vijanjnagati

10¹⁷ = asobhya            10²⁷ = titilambha                                           

Anche gli scienziati indiani infatti usavano forme di espressione del loro sapere legate alla poesia e perciò, al fine di non ripetere più volte uno stesso termine numerico in un enunciato, facevano ricorso a sinonimi; ciò anche per questioni di mnemotecnica, in quanto ripetere 6-7 volte un termine numerico poteva portare ad errori dovuti alla confusione percettiva di cui abbiamo parlato nelle scorse volte. C’era dunque una ricca sinonimia di numerazione orale di posizione (strumento privilegiato degli astronomi) che evitava monotone ripetizioni.

UNO                                                                                                   DUE

Eka = uno                                                                                           Dvi = due     

Pitamaha = “Il grande Padre” (Brahma)                                 Asvin =  Dei gemelli (Dioscuri indiani)

Adi = L’inizio                                                                          Yama = Coppia primordiale

Tanu = Il corpo                                                               Yamala,Yugala= Gemelli, Coppie

Wara, Ksiti, Go = Terra                                                      Netra = gli occhi

Abja, Indu, Soma = Luna (o la Via Lattea?)                                   Bahu = le braccia

                                                                                                Gulpha = le caviglie

                                                                                                Paksa = le ali

TRE                                                                                                    QUATTRO

Tri = tre                                                                                              Catur = quattro

Guna = proprietà primordiali        (sattva,rajas,tamas)                          Veda = libri sacri (4 parti)

Loka =            I (3) mondi                                                                               Dis = Punti cardinali

Kala = Il tempo (passato,presente,futuro)                                              Sindhu, Abdhi = L’oceano

Agni, Vahni = I fuochi                                                            Yuga = i cicli cosmici

Haranetra = Gli occhi di Shiva                                                   Irya = Le posizioni del corpo

Rama = eroe del poema eponimo                                                           Haribahu = Le braccia di Vishnu

                                                                                                Brahmasya = I volti di Brama

CINQUE                                                                                            SEI

Panca = cinque                                                                          Sat = sei

Bana,Isu = le frecce di Kama                                                            Rasa = i sapori

Indrya = i sensi                                        Anga= le membra (testa+tronco+2braccia+2gambe)

 Rudrasya = I volti di Shiva                                                                Sanmukha = i volti di Kumara

Bhuta = gli elementi                                                                      

Mahayajina = I (5) sacrifici

SETTE                                                                                               OTTO

Sapta = sette                                                                                       Asta = otto

Asva = i cavalli di Surya (Sole)                                                 Vasu = Le divinità minori

Naga = Le (7) montagne                                                                     Gaja = gli (8) elefanti

Rsi (rishi) = I saggi                                                                            Naga = i serpenti

Svara = Le (7) vocali                                                                           Murti = le forme di Shiva

NOVE                                                                                                ZERO (quando sarà introdotto)

Nava = nove                                                                                       Sunya = Vuoto

Anka = le cifre                                                                                    Bindu = Punto

Graha = I (9) pianeti                                                                          Gagana = Firmamento

Chidra = Gli orifizi del corpo                                                            Akasha = Etere, Spazio libero

Viyat = Cielo

                                                                                                            Abhra = Atmosfera

Nabhas = Sfera celeste      Ambara = Volta celeste, circonferenza

Vishnupada = Piede di Vishnu

Purna = Completo, Intero

Randhra = Buco

Antariksha = Spazio intermedio

Kha = Luogo, Spazio

Ananta = Infinito

Senza contare             Arnava (ancora Oceano) per 4, Anguli (dita) per 10, Surya (sole) per 12.

In un testo sanscrito del 629 d.C. il numero dei 4.320.000 del Caturyuga (ciclo cosmico oggetto di ardite speculazioni metafisiche) veniva così espresso:

Viyadambarakasasunyayamaramaveda

Viyat-ambara-akasa-sunya-yama-rama-veda

Etere-etere-spazio-vuoto-coppia-rama-libri

0          0            0            0            2            3            4

Il metodo può sembrare puerile, ma la poesia ha svolto un ruolo preponderante nella cultura indiana:

infatti le opere letterarie, matematiche, teologiche ed astronomiche sono tutte in versi

Un problema di aritmetica diventava uno schema di versificazione figurata come nell’enigmistica.

Una sorta di Gioco delle perle di vetro.

Un enunciato con un numero astronomico somigliava ad un poema epico.

Con questo metodo vi erano

Tale metodo però era inapplicabile nelle operazioni aritmetiche: come sommare “frecce”, “vocali” e “pianeti” oppure dividere “volti di Brahma” per “braccia di Vishnu” ?

A questo punto ci furono altri passaggi:

1. Essendo in pratica il sistema posizionale  una sorta di “proiezione” dell’abaco sulla carta,

nelle colonne dell’abaco gli Indiani invece di inserire i sassolini (neutri dal punto di vista del significato facciale immediato) mettono già le cifre della vecchia notazione numerica. Il problema era a tal punto di rendere mnemonica una parte del calcolo : gli apici di Gerberto, gettoni d’abaco con cifre sovrascritte sono gli eredi a tal proposito di analoghe tessere usate dagli Indiani e di tessere usate in Egitto con numeri rappresentati con le dita delle mani. Ogni gettone aveva un contrassegno corrispondente ad una certa quantità di calculi neutri di valore unitario

2. Poi dal VI secolo si applicò il principio posizionale. A tal proposito è controverso se il grande matematico e astronomo Aryabatha conoscesse il nuovo sistema di numerazione: egli elaborò un’originale ed articolato metodo di registrazione numerica, che gli permetteva una notazione certo più economica del Suryasiddhanta; tale metodo consisteva nel dare un valore convenzionale ad ognuna delle 33 consonanti sanscrite (alle 25 consonanti varga i numeri appunto da 1 a 25; alle 8 consonanti avarga le decine da 20 a 100; alle vocali che erano nove le potenze pari di 10 da 10⁰ a 10¹⁶ ). I numeri risultavano essere gruppi sillabici formati da una consonante varga, una consonante avarga e da una vocale (es. sta = (90+16)x1= 106; sgi = (90+3)x10²  = 9300; kigva = [1x10² +( 3+60) x 1] = 163; cayaguyu = 6x1+30x1+3x10⁴+30x10⁴ = 333.036 ). Da questa notazione sembrerebbe che il sistema posizionale sia ben lontano, ma quando Aryabatha insegna l’estrazione di radice quadrata e cubica, distinguendo in un numero (es. 85.768) le parti varga (8,857,85768) dalle parti avarga (85,8576), ed inoltre riferendosi a termini corrispondenti allo zero, egli si rivela perfetto conoscitore del sistema posizionale. L’ipotesi più plausibile a questo punto è che egli operava indifferentemente con l’abaco e con la scrittura e le regole da lui enunciate valevano per entrambi gli strumenti.              

3.      E fu innestato un simbolo (un punto o un cerchietto vuoto, questo forse di provenienza alessandrina) per zero, simbolo che sino ad allora era utilizzato solo per indicare nomi di numero o parole metaforiche che stavano per un numero (le abbiamo già viste).

4.      A questo punto l’abaco può scomparire e le cifre assumono valore variabile a seconda della posizione nelle rappresentazioni numeriche. Non tutte le culture erano meglio predisposte a fare questo successivo passo: ci volevano culture che avevano già una rappresentazione indipendente dei numeri (gli Egizi con la ieratica, gli Ebrei e i Greci con l’alfabetica, gli Indiani con il brahmi ). Gli Indiani fecero questo passo probabilmente  perchè scrivevano su foglie (più economiche) e non sul costosissimo papiro (in tal caso conveniva forse mantenere l’abaco).

5.      Il verso della notazione numerica fu invertito, la scrittura delle unità dei diversi ordini decimali non avvenne più nel senso delle potenze crescenti di 10, i numeri furono rappresentati da sinistra a destra (il verso delle operazioni all’abaco) seguendo le potenze decrescenti di 10 a partire dalla cifra associata alle unità più alte.

6.      Con questo sistema furono superate le difficili regole di utilizzo dell’abaco, che non consentiva di rilevare eventuali errori, dato che non rimaneva traccia degli stati intermedi delle operazioni.

Con lo zero gli Indiani fecero molti progressi: le moltiplicazioni ad es., ben più fattibili con la nuova notazione, si cominciarono a praticare diffusamente a partire dal VI secolo.

Es.

325x28

·        325

28

·        2x3=6      6325

28

·        8x3=(2)4               2   

6425 8425

28               28

·        8425

  28

·        2x2=4        4

                                              8425                8825   

                                                28                      28

·        8x2=16            1                           

8865 8965

                                                  28                      28       

·        8965

  28

·        2x5=10            10        1

          8965             8065 9065

                                                  28                        28                       28

·        8x5=40              4          1

                                              9060                          9000                9100            =     9100

                                                  28                   28                        28

Con gli Indiani dunque giunsero a convergenza le storie parallele della notazione numerica e del calcolo. Quest’ultimo fu in un certo senso molto democratizzato.

Non sembri strano a tal proposito che un’esigenza di democratizzazione del sapere fosse portata avanti all’interno della cultura dell’India delle caste: infatti proprio la natura prevalentemente religiosa e totalizzante della cultura indiana fu un fattore di circolazione del sapere all’interno degli ambiti in cui tale circolazione era possibile, per cui la dimensione amministrativo-statuale e quella commerciale beneficiarono anche se molto parzialmente dell’innovazione avvenuta in campo matematico-astronomico, innovazione che veniva spesso messa in versi (si pensi ad una poesia amorosa del poeta indiano Biharilal che paragona il punto sulla fronte della sua amata allo zero che ne moltiplica per dieci la bellezza!) Probabilmente in campo ellenistico i matematici che non erano sacerdoti e (proprio per questo) non avevano contatti con altre dimensioni della società che non fossero mediati dalla monarchia e dal suo apparato per cui il loro sapere non aveva altri sbocchi se non quelli interni alla ristretta comunità culturale di cui facevano parte o nelle tecnologie strettamente funzionali agli interessi del despota che servivano

Il sistema comunque a questo punto era diverso da quello numerico-letterale (limitato da un alfabeto finito di 22 e 27 lettere).

Le potenze di 10 erano nominate in un ordine preciso per cui si potevano eliminare a questo punto nomi ed indicatori di basi e di potenze, facendo  rimanere così solo la successione numerica:

7629 diventa nava dvi sat sapta

undici è eka eka

Si costruisce dunque una numerazione orale posizionale rigidamente fondata sulla mancanza di nomi di indicatori di ordini numerici.

Cosa fare però a questo punto con numeri tipo 301?

Sarebbe necessario (vista l’impossibilità di dire eka tri data l’ambiguità) tornare, come facevano i Cinesi ai determinativi e dire eka ca tri sata.

Viene allora usato un vocabolo speciale e cioè sunya (vuoto) e 301 diventa eka sunya tri. Il concetto di sunya era già stato usato dal grammatico Panini (IV sec.a.C.) per indicare l’assenza di suffisso in una parola.

In realtà un’altro vocabolo molto usato è kha (spazio) che meglio esemplifica la prima funzione di “zero”, quella cioè mediale di ordine numerico vuoto, di colonna d’abaco senza numero, senza gettone.Forse questo termine precede temporalmente sunya e condenserà attorno a sé tutte le altre proprietà di questo nuovo segno, anche se sunya alla lunga sarà il termine più decisivo e significativo.

Erano dunque a disposizione tutti gli ingredienti

·        Cifre non ideografiche per i numeri (forse con ascendenza del ieratico egizio)

·        Principio di posizione orale e scritto (con origini orali e rituali)

·        Zero

Ma la regola posizionale e lo zero si applicavano solo nella versificazione orale.

Finché nel V sec d.C. e forse precisamente nel 25 Agosto del 458 d.C. in un trattato di cosmologia jainista, il Lokavibhaga, compaiono le prime cifre scritte con lo zero:

In questo testo 14.236.713 è reso come triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam .

13.107.200.000 invece è reso con sunya sunya sunya sunya sunya dvi sapta sunya eka tri eka.

Ognuno degli enunciati del testo è precisato dall’espressione sanscrita sthanakramad (“nell’ordine della posizione”).

Ifrah suppone che gli autori del trattato volevano rivolgersi ad un vasto pubblico in quanto oltre a precisazioni di questo genere avevano evitato sistematicamente nel testo particolari troppo tecnici e una terminologia troppo specialistica , e ciò perché volevano fare più propaganda religiosa che altro. Se così fosse si dovrebbe dedurre che il procedimento fosse noto da tempo e già diffuso al di fuori degli ambienti scientifici.

In realtà ci sono altri due candidati al titolo di “primo zero” indiano documentato:

Il primo risalirebbe al 270 d.C. e sarebbe contenuto nel Yavanajataka (l’oroscopo dei Greci) scritto da Sphujidhvaja su un originale in prosa del 150 d.C., più o meno alla stessa epoca degli “zero” sessagesimali di Claudio Tolomeo. Alcuni studiosi pensano che questa sia la prova che lo “zero” sia comunque retaggio greco, ma altri studiosi ne contestano la datazione. In quest’opera 60 è citato come sat binduyutani e poi come sat khayutani.Il problema è non tanto se la cultura ellenistica abbia fornito o no lo zero (e su questo tutte le discussioni sono possibili), ma “quale zero” abbia eventualmente fornito. La tesi di chi scrive è che lo zero ellenistico non aggiunge niente a quello neobabilonese, e perciò lo scatto decisivo sarebbe “farina del sacco indiano”.

Il secondo candidato si trova in un testo di argomento aritmetico su di una corteccia di betulla trovata a Bakhshali (sistema posizionale e molti punti corrispondenti a zero e chiamati sunya). Inizialmente lo scopritore Hoernle lo datò al III sec. d.C. circa, ma Kaye lo riportò al XII secolo. Oggi si propende ad una datazione intermedia (VII sec d.C.) ma comunque va spiegato perchè i valori monetari utilizzati nelle esemplificazioni (denari e drachme) sono quelli del periodo ipotizzato da Hoernle.

A partire dal VI sec. d.C. lo zero si diffuse, quale che fosse la sua prima apparizione, anche fuori dall’India

·        400 circa d.C. nel trattato astronomico Suryasiddhanta troviamo la dicitura kha catuska rada arnavas (e cioè vuoto quattro volte denti oceano e cioè quattro trentadue quattro zeri e cioè 4.320.000). La riflessione d’obbligo a questo punto è: se lo zero lo ritroviamo nella forma in prosa e cioè nella trascrizione della forma orale e/o versificata, quando la  necessità dello zero è una necessità prima di tutto grafica, da quanto tempo il grafema “zero” è in circolazione? Chi scrive pensa che il segno fosse in uso da molto tempo ed è la fragilità del materiale usato a negarci testimonianze più antiche.

·        510 d.C. testimonianza di Aryabatha: se si riflette sulle conoscenze di quest’ultimo pure si deve convenire su una retrodatazione di lungo respiro.

·        575 d.C. uso dello zero da parte dell’astronomo indiano Varahamihira

·        595 d.C. più antico documento epigrafico indiano a Sankheda (donazioni su rame) con 9 cifre e principio di posizione

·        598 d.C. più antica iscrizione sanscrita della Cambogia (la data 520 saka è resa con lo zero e il sistema posizionale)

·        620 d.C. Subandhu nel suo Vasavadatta recita che le stelle punteggiano il cielo come sunyabindu (punti-vuoto, punti zero), mentre il Dio Supremo calcola il totale sul cielo blu inchiostro usano una falce di luna come gessetto.

·        628-629 d.C. Bhaskara I impiega zero e principio posizionale

·        662 d.C. testimonianza del vescovo siriano Severo Sebokt su metodi indiani di calcolo mediante le nove cifre.

·        683 d.C. più antica iscrizione khmer (a Sambong) con il metodo indiano di notazione numerica (il numero denotato è il 605)

·        686 d.C. le più antiche iscrizioni in malese (a Palembang) con datazione con zero e principio di posizione; i numeri in questione sono 60 e 606.

·        687 d.C. la più antica iscrizione sanscrita del Champa con il principio di posizione

·        718-719 d.C. testimonianza di astronomo buddista di origine indiana stabilitosi in Cina su zero e principio di posizione

·        732 d.C. più antica iscrizione sanscrita di Giava con data con sistema numerico di posizione

·        760 d.C.  più antica iscrizione vernacolare di Giava con data con zero e principio di posizione

·        VIII d.C. comparsa della zero indiano nella numerazione posizionale cinese

·        773. d.C. introduzione numerazione indiana in terra islamica: Al-Mansur, califfo di Baghdad riceve una delegazione di studiosi indiani che gli presenta il nuovo sistema di numerazione.

·        813 d.C. più antica iscrizione vernacolare del Champa (Ponagar nel Vietnam) datata con zero e principio posizionale

·        820 d.C. Al Khuwarizmi scrive un opera sul sistema di numerazione indiano, dove dice che, quando dopo una sottrazione non rimane nulla essi (gli Indiani) mettono il cerchietto in modo che il posto non rimanga vuoto; il cerchietto deve occupare la posizione perché altrimenti ci sarebbero meno cifre e quindi la seconda potrebbe essere scambiata per la prima...Al Khuwarizmi studiava e traduceva anche Diofanto: perchè dunque attribuiva comunque l’invenzione agli Indiani? Anche questo è un punto su cui riflettere...

·        875 d.C. più antiche iscrizioni lapidarie indiane a Gwalior con metodo posizionale e uso dello zero. Gli studiosi più accanitamente prevenuti continuano a pensare che sia la prima testimonianza indiana dello zero e del metodo posizionale

·        IX sec. d.C   comparsa delle cifre ghobar tra Arabi maghrebini e spagnoli

·        976-992 d.C. manoscritti Spagna non musulmana con cifre simili a quelle ghobar (più antica testimonianza europea, ma probabilmente il primo incontro risale a 100 anni prima)

·        990 d.C. missionari ismailiti egiziani portano le cifre indo-arabe in Russia

·        X-XII sec d.C. uso promosso da Gerbert de Aurillac di gettoni di corno contrassegnati da cifre indo-arabe e detti apices

·        1100 circa d.C.  Avraham Ben Ezra diffonde nuovo sistema presso gli Ebrei. Ben Ezra usa il termine galgal (ruota) per indicare lo zero, termine che ricorda il kha indiano che designa anche il foro della ruota in cui si infila l’asse (e ciò ricorda una metafora del cinese Tao-te-king che potrebbe essere considerata un’ulteriore anticipazione filosofica dello zero stesso) 

·        XII sec.  introduzione dello zero in Occidente con operazioni fatte senza le colonne su sabbia (algorismi)

·        XIII-XVI sec. Comparsa del calcolo su carta e penna

·        XV sec. generalizzazione dell’uso del nuovo metodo.

Gli Indiani, contrariamente a Maya e Babilonesi, aggiunsero al significato già dato di zero (e cioè spazio vuoto, vuoto come relazione, “non c’è x”), quello di

·        Vuoto/nulla

·        Quantità nulla

·        Sostanza

·        Numero zero

Questo cambiamento fu forse dovuto alla speculazione della scuola Madhyamika e del suo più famoso esponente Nagarjouna. Non si vuole pensare come faceva O. Spengler nelle sue semplificazioni storiche che solo in India sarebbe potuto partorire lo zero, perchè è semplicemente falso. Tuttavia c’è forse una riflessione filosofica che ha preceduto o accompagnato questa innovazione: tale riflessione è quella buddista del Sutra del Cuore (Prajnaparamita hridaya sutra) uno scritto tra il I sec. a.C. e il I sec. d.C. dove si dice che ogni forma (rupa) è vuota (sunya) ma che la Vuotezza (Sunyata) è anch’essa forma, una versione filosofica del passaggio dall’idea dell’assenza di numero al numero dell’idea di assenza (dallo zero babilonese allo zero indiano). La scuola della Madhyamika, basata sul commento di questi testi ed ebbe in Nagarjouna (II sec d.C.) il suo principale esponente, professa l’interdipendenza di tutti gli enti e la mancanza dell’essere-in-sé di ogni ente, a riecheggiare il principio posizionale per cui il numero rappresentato da una cifra dipende dalla posizione della cifra stessa. Il fisico J.D.Barrow che ha studiato l’evoluzione dei sistemi di numerazione afferma che mentre in Mesopotamia lo zero aveva una dimensione semantica elementare e unidimensionale, in India esso era parte di un più ampio spettro filosofico di significati connessi al Vuoto, per cui l’innovazione avvenuta era più naturale e prevedibile. Ci sono pure studiosi come R. Kaplan che cercano di trovare in Grecia tutte le fonti possibili di un’analoga rivoluzione, ma la ricerca è troppo dispersiva dal punto di vista temporale e tematico (si scomoda l’arytmos del pitagorico Timarida, la chora del Timeo di Platone e la dynamis aristotelica con evidenti difficoltà di sintesi) mentre in India è tutto molto più circoscritto ed attendibile dal punto di vista della storia delle idee.   

Dunque il sistema indiano, rispetto ad altri sistemi, annoverava

1.      Cifre di base non pittografiche o ideografiche (contrariamente a Babilonesi, Cinesi e Maya)

2.      Zero come operatore, cioè alla fine del numero (Babilonesi sì, Maya e Cinesi no)

3.      Zero come numero in sé su cui poter fare operazioni (al contrario di Babilonesi, Maya, Cinesi e Greci)

4.      Capacità operatoria senza abaco ma simile a quella dell’abaco (al contrario di Babilonesi, Cinesi e Maya)

Gli Arabi furono i diffusori del sistema numerico indiano.

Essi salvarono molto del sapere antico, lo diffusero, lo elaborarono ed inaugurarono un’epoca brillante per la scienza.

Tutto questo naturalmente dopo l’anno 1000.

In precedenza erano popolazioni guerriere e distruttrici (vedi la distruzione della biblioteca di Alessandria ad opera del Califfo Omar)

Essi adottarono il sistema numerico indiano: l’uso dei simboli alfabetici greci per i numeri era perdurato fino al X secolo, quando si diffusero due insiemi di numerali arabi, quelli dell’est e quelli dell’ovest; entrambi adoperavano i simboli indiani per i numerali da 1 a 9 ma non per lo zero. Essi si avvalevano di una semplice forma di notazione posizionale che permetteva di evitarlo (se ad es. una cifra indicava decine si metteva un punto sopra la cifra, se centinaia due punti; Kaplan a tal proposito assimila tali punti a veri e propri zero dimenticando che questi punti non essendo incolonnati non avevano possibilità operatorie ma avevano solo una funzione di specificazione della cifra su cui erano posti). Poi gli Arabi dell’Est introdussero il cerchietto dello zero ed uniformarono completamente la loro notazione all’uso indiano. Gradatamente venne adottato l’intero sistema:

Cifre/numerazione decimale/numerazione posizionale/ zero/ metodi di calcolo

Un autore arabo sostenne apertamente che il metodo adottato era più agile, più comprensibile, più agevole da insegnare (comunicabile)

Gli Arabi cercarono di sintetizzare le intuizioni indiane e lo spirito logico-sistematico greco.

In Europa, prima della diffusione del sistema indiano, l’arte di fare calcoli era stretto appannaggio di una casta di specialisti che avevano un livello universitario di preparazione per l’utilizzo (misterioso e complesso) degli abachi:

Il mercante medievale che voleva educare il figlio si vide rispondere che per l’addizione e la sottrazione andavano bene tutte le università, per la moltiplicazione e la divisione solo le Università italiane.

Il divulgatore in Europa delle cifre arabe fu Gerbert de Aurillac che travestito da arabo frequentò Siviglia e Cordoba ed imparò la nuova numerazione (non scritta ma su tavole da calcolo), ma riscontrò una strenua resistenza nel diffonderla e fu accusato di essere alchimista, mago e addirittura l’Anticristo, pur essendo diventato nel frattempo Papa col nome di Silvestro II (anno 999: quando si dice la sfiga!). La causa di tale difficoltà fu dovuta alla provenienza araba (gli infedeli!) delle nuove cifre ed al fatto che consentivano (diabolicamente!) la mutazione dei numeri aggiungendo semplicemente una cifra (gli attuali asterischi attorno alle cifre degli assegni bancari sono una traccia ancora visibile di questo problema!).   Comunque le cifre indo-arabe inizialmente semplificarono l’uso delle tavole da calcolo (come pure in India): sui gettoni d’abaco erano incise le nuove cifre ed ognuno di essi ebbe un nome individuale; in Europa erano:

1= igin (da eka? Tedesco eigen)   4= arbas              7= zenis

2= andras                                      5= quimas           8= temenias

3= ormis                                        6= caltis                     9= alentis 

Lo zero non era utilizzato in quanto bastava lo spazio vuoto dell’abaco, oppure veniva utilizzato un gettone con su il simbolo ^ che era forse l’accento che si metteva sui numeri per indicarne l’appartenenza ad ordini superiori all’unità. Tale gettone con il simbolo interno si evolse probabilmente nel simbolo che pure indicava lo zero della Theta/theca che può essere così

espresso Θ.

Lo zero forse venne inizialmente diffuso in maniera esoterica (ad es. probabilmente i tarocchi erano un misto di 23 segni del sistema letterale greco-ebraico più il Matto che potrebbe essere un travestimento dello Zero).

I cambiamenti della forma delle cifre furono favoriti dagli orientamenti diversi delle diverse scritture che facilitavano la rotazione spaziale delle cifre stesse e quindi le loro ulteriori modifiche.

Oltre agli stili sempre diversi di scribi e copisti, la manipolabilità dei gettoni aumentò l’iniziale confusione, finchè la stampa fissò le forme delle cifre su prototipi ben precisi adottati una volta e per tutte.

I Crociati portarono altre scoperte arabe in Europa e consentirono la sortita dei primi algoristi europei (per algoristi si intende chi faceva operazioni senza l’abaco)

Circa 200 anni dopo Gerbert de Aurillac, Leonardo Fibonacci riportò in Occidente le cifre indo-arabe dopo essere andato in Maghreb ed in Medio Oriente.

Iniziò allora un conflitto religioso e culturale tra algoristi ed abacisti vinto dai primi dopo molto tempo: l’abaco si insegnava ancora nel XVIII secolo (ed in Giappone lo si fa ancora!), il calcolo scritto aveva fortuna presso gli scienziati, ma non presso i commercianti (anche se una delle svolte per la vittoria del nuovo sistema di notazione fu la nascita della partita doppia dove crediti e debiti venivano situati in serie/colonne  parallele con lo zero che faceva da fulcro e da indice di buona amministrazione in quanto risultato della loro differenza), finchè con la Rivoluzione Francese si vietò l’uso dell’abaco nelle scuole, si diffuse il sistema decimale e si unificarono i sistemi di misurazione.

Come in ogni biforcazione culturale si dovette fare una scelta, qualcosa andò perduto (ed i Giapponesi lo vogliono giustamente ancora conservare) ma la scelta fatta fu forse la migliore in quanto permise una maggiore diffusione del sapere (alcuni come Barrow e Rotman mettono in correlazione questo processo e la nascita della perspectiva nelle arti figurative con il punto di fuga, una sorta di punto-zero dello sguardo, che risistema le figure non più secondo la loro dimensione/importanza ma secondo la semplice distanza spaziale dall’osservatore). Ce ne fossero di rivoluzioni culturali del genere più spesso!

Interessante ed anche filosoficamente rilevante l’origine comune delle parole “zero” e “cifra”.

Il termine indiano Sunya divenne l’arabo sifr.

Quest’ultimo da un lato divenne in Leonardo Pisano zephyrum poi “zefiro” ed infine zero.

Attraverso un altro percorso esso divenne prima sifra e poi “cifra”, che inizialmente aveva lo stesso significato di “zero” e poi dal 1491 significò la cifra e cioè un segno per un numero, o quasi un meta-numero (del resto in inglese zero per molti anni è stato “cipher”).

Ifrah spiega la cosa dicendo che, essendo “zero” il numero fondamentale del nuovo sistema numerico, l’elemento più importante designò alla fine il tutto, il nome di una delle cifre designò il termine generale “cifra”.

A parte però la spiegazione storica c’è un senso filosofico di tutto questo percorso dell’etimo: lo zero, a cui non corrisponde nessuna molteplicità, fa intervenire proprio il segno in quanto tale all’interno stesso del mondo delle essenze e dei contenuti, ed invera in un certo senso il platonismo nel momento in cui gli toglie una certa razionalistica pretesa di coerenza. E questo deve essere un oggetto di riflessione.

Sulla teoria esposta da G.Ifrah molti storici hanno esposto obiezioni che cercano di sminuire il ruolo dell’India nel compiere questa rivoluzione cognitiva. Tra le altre cose questi storici sostengono che

1.      I contributi indiani sono stati grossolanamente esagerati: la numerazione moderna ha una matrice greca ed è stata diffusa da Alessandria verso l’India e verso l’Africa nord-occidentale.

2.      In Giamblico c’è già l’oudén. Ma ancor prima il simbolo attuale dello zero si trova già nei primi papiri alessandrini (III sec. a.C.) e nelle tavole trigonometriche pure alessandrine.

3.      Archimede nell’Arenario (Psammites) (III sec. a.C.) elabora un sistema di numerazione equivalente al metodo posizionale e tale sistema, assieme all’astronomia, fu importato in India. Archimede voleva dimostrare che era possibile nominare e costruire numeri più grandi di quello dell’insieme di granelli di sabbia che potrebbero essere contenuti nell’intero universo, con prove di carattere geometrico:

·        egli presuppone che un mucchietto di sabbia grande come un seme di papavero contenga 10.000 granelli;

·        poi suppone che 40 semi di papavero (assimilabili ognuno ad una piccola sfera) messi in fila raggiungano la larghezza di un dito e di questa sezione calcola l’area, utilizzando i granelli di sabbia come unità di misura: 40³ (64.000, volume di 40 semi) x 10.000 (granelli per seme). Se si arrotonda 64.000 a 100.000  il prodotto diventa 10⁹

·        Essendo uno stadio la larghezza di un dito per 10.000, il volume di granelli raccolti in semi di papavero è 10⁴ elevato a 10³  e cioè 10¹² che moltiplicato per 10⁹ diventa 10²¹

·        Archimede poi costruisce una sfera immaginaria S con il diametro uguale alla presunta distanza Terra-Sole ed ipotizza una proporzione tra Diametro Terra/Diametro S e Diametro S/Diametro Universo (sfera stelle fisse)

·        A questo punto egli calcola che il diametro dell’universo sia di 10¹⁴ ed il volume 10⁴² per cui la quantità di granelli sarebbe 10⁴²x10²¹ e cioè 10⁶³

·        Archimede non si ferma qui: egli costituisce numeri sempre più grandi che poi riduce ad unità di ordini superiori e poi gli ordini li riunisce in periodi sino a raggiungere alla miriade di miriadi di miriadi del miriadesimo ordine della miriade del miriadesimo periodo e cioè 10^{80.000.000.000.000.000} e cioè 100.000.000x1 seguito da 800.000.000 di zeri.

·        Kaplan sulla base dell’Arenario ipotizza che i grandi  numeri del Lalitavisthara siano pure derivati dall’Ellenismo.

4.      Le grandezze incommensurabili usate in India non erano accompagnate da sufficiente consapevolezza teorica.

5.      L’algebra sviluppatasi nel XVI sec. in Europa aveva origini più islamiche che indiane.

A queste obiezioni si può rispondere:

1.      All’inizio i grafismi maghrebini e quelli orientali erano simili e si sono differenziati molto dopo l’era ellenistica (la nascita delle cifre gopher/ghobar risale al X secolo). Dunque essi non hanno un’origine comune alessandrina. La natura specifica delle cifre, il ruolo svolto dalla versificazione e dalla numerazione orale, la distanza di 3-4 secoli tra l’epoca alessandrina e lo sviluppo della matematica indiana classica, l’importanza già riscontrabile in epoche arcaiche per i grandi numeri, l’importanza filosofica del concetto di Sunyata rendono complessivamente la genesi del sistema posizionale e dello zero in India un processo autonomo ed originale, pur senza negare spunti ed influenze dall’esterno.

2.      Il simbolo indiano dello zero (e cioè sunya, il circoletto vuoto) non è stato ripreso obbligatoriamente dalla Grecia, ma piuttosto (come la conchiglia semichiusa dei Maya ed il riquadro vuoto dei Cinesi) è un’ autonoma e ricorrente soluzione grafica (come i puntini o le barrette per indicare le unità) per designare quello che verrà chiamato l’insieme vuoto, una cornice cioè senza contenuto (alcuni psicologi cognitivi suppongono che tale raffigurazione sia legata a forme di rappresentazione standard elaborate dal cervello umano e dunque legate ad una struttura innata e comune a tutti gli uomini). Storicamente dunque la somiglianza tra i segni potrebbe non essere significativa. Subash Kac ipotizza una derivazione dello zero dal 10 della numerazione brahmi (una sorta di pesciolino stilizzato) che si sarebbe poi scisso nell’uno e nello zero della numerazione Gwalior.

3.      Il ricorso ai grandi numeri nella letteratura religiosa indiana sembra contemporaneo o addirittura precedente alla presunta influenza alessandrina, e legato alle pratiche mnemotecniche delle culture orali: nello Yayurveda si attribuiscono nomi specifici alle potenze di 10 fino a 10¹². Nel Ramayana (più o meno redatto contemporaneamente ad Archimede) l’esercito del semi-dio Rama è di 10¹⁰+10¹⁴+10²⁰+10²⁴+10³⁰+10³⁴+10⁴⁰+10⁴⁴+10⁵²++10⁵⁷+10⁶²+5 . E’ più probabile che l’Ellenismo abbia tratto spunti da questa matematica (l’Infinito nella riflessione greca da Platone in poi era arreton  ed Euclide dimostra in maniera puramente logica l’esistenza di infiniti numeri primi, senza cioè far ricorso a rappresentazioni numeriche) per svilupparla più sistematicamente e l’abbia poi restituita potenziata alla cultura indiana che l’ ha poi sviluppata. Dire poi come fa Lucio Russo che Archimede abbia sviluppato un metodo equivalente a quello posizionale è sbagliato: Archimede ha fatto molto di meno e molto di più, nel senso che con un metodo meramente moltiplicativo ha ideato una sorta di notazione esponenziale che però non ha avuto futuro, senza la mediazione di una notazione posizionale. Quest’ultimo consente anche ad uno stupido di costruire grandi cifre che con i metodi in uso presso i Greci solo un grande matematico come Archimede avrebbe potuto fare. Intanto immaginiamo la padronanza indiana del metodo archimedeo che veniva messo in versi in storie di tenzoni amorose (come se oggi uno mettesse in versi il teorema di Godel!)

4.      La consapevolezza filosofica e teorica dell’uso dei grandi numeri in India è dimostrato dalla matematica Jaina (II-I sec a.C.) che oltre a padroneggiare i grandi numeri dividono i numeri stessi in

·     Numerabili che partono da 2 per andare all’infinito (i Jaina affermano che non v’è massimo numerabile)

·     Non numerabili (asmkhyata) (quasi non numerabili; assolutamente non numerabili; innumerabilmente non numerabili)

·     Infiniti (Ananta) (quasi infiniti; assolutamente infiniti; infinitamente infiniti)

·     Altre 5 specie di Infinito: Infinito in una direzione; Infinito in 2 direzioni; Infinito nell’area; Infinito ovunque; Infinito eterno.

·     Se Euclide ha dimostrato l’esistenza dell’insieme infinito di numeri primi e Archimede di diversi ordini dei grandi numeri, i Jaina hanno ipotizzato l’esistenza di diversi Infiniti, anticipando la teoria dei Transfiniti di Cantor.

5.      Fu Brahmagupta colui che forse per primo fece operazioni con lo zero, utilizzandolo rivoluzionariamente come un numero vero e proprio, mettendo in pratica l’esser forma (rupa) del Vuoto (Sunya). Brahmagupta sosteneva che un debito detratto dal nulla diviene un bene ed un bene detratto dal nulla diviene un debito. I numeri negativi invece erano già conosciuti in Cina nel III sec a.C e metodi algebrici erano noti in Mesopotamia. Gli arabi dunque perfezionarono l’algebra ma non l’ hanno inventata.

6.      Una delle difficoltà circa la presunta origine alessandrina di molte scoperte matematiche è che esse si ritroverebbero presso altre civiltà (come quella indiana) sotto formulazioni e notazioni matematiche completamente diverse. Dato ciò è poco plausibile pensare che le conoscenze matematiche potessero essere esportate “a pacchetti”, come pretendono i “tifosi” della matematica greca. Un’altra difficoltà riguarda il fatto che sembra strano che gli Arabi abbiano mutuato il nuovo sistema di numerazione dall’India e non dalla riscoperta del sapere greco che essi comunque stavano compiendo. Sembra inoltre che quali che fossero le intuizioni e le scoperte greche, esse non sono state portate a compimento combinando, come fecero gli Indiani, la notazione numerica con i metodi di calcolo. Come si spiega questo? Il ricorso all’opera di distruzione svolta dai Romani è un argomento troppo abusato e ci dà un’immagine distorta della civiltà latina. Come si spiegherebbe inoltre l’egemonia della notazione alfabetica greca se un sistema posizionale con lo zero fosse già stato compiutamente elaborato nello stesso periodo? La verità probabilmente è che le possibilità operatorie dello zero e del sistema posizionale non erano state intuite e dunque non vi fu interazione tra un’eventuale notazione usata a livello scientifico e quella effettuata nel corso delle pratiche commerciali o di altre occasioni quotidiane. In pratica, come già detto, la scienza ellenistica sembra essere stata una scienza in parte avulsa dal contesto sociale prossimo. Lo zero da questi storici in pratica viene considerato come una sorta di cagnolino da diporto delle tavole trigonometriche di Tolomeo gettato in pasto ai poveri Indiani che, non si sa come (e questo dà da pensare!), ne hanno fatto qualcosa di essenziale per lo sviluppo successivo delle scienze e della società. Questi storici infine non valutano nella loro importanza l’utilizzo delle zero cuneiforme che fu sistematizzato in epoca seleucide, ma che ha antecedenti nel periodo neo-babilonese. Probabilmente questa potrebbe essere la fonte comune dello zero ellenistico e dello zero indiano.

Concludendo si può dire che si può attribuire alla matematica indiana:

·        Lo zero come numero vero e proprio

·        Il sistema di numerazione moderno

·        Le operazioni aritmetiche moderne (senza abaco)

·        L’invenzione dell’algebra fatta con lo zero e i numeri negativi

Tuttavia è necessario dire che lo studio della storia della notazione numerica ci ha reso consapevoli che tutte le rivoluzioni cognitive sono il frutto di mille fattori e di mille idee e sono patrimonio di tutta l’umanità sia nell’elaborazione che nella fruizione. Non esistono dal punto di vista culturale delle civiltà più atte al sapere ed alla scienza; il fatto che la numerazione indo-araba si sia diffusa un po’ in tutto il mondo è una testimonianza in tal senso: non conta chi abbia elaborato una idea, ma quanto ci mettono tutti gli altri ad apprenderla.