Come abbiamo visto, con la comparsa della mano come duttile strumento di computazione altre basi numeriche fanno la loro apparizione.

Si passa idealmente dalla base 2 alla base 5.

Un esempio di base 5 è la lingua Api delle Nuove Ebridi:

1= TAI                6= OTAI = NUOVO UNO

2= LUA               7= OLUA = NUOVO DUE

3= TOLU            8= OTOLU = NUOVO TRE

4= VARI             9= OVARI = NUOVO QUATTRO

5= LUNA           10= LUALUNA ( 2x5   DUE MANI)

(MANO)

11= LUALUNA I TAI = 2MANI + 1

12= LUALUNA I LUA = 2MANI + 2

15= TOLULUNA = 3MANI (3x5)

16= TOLULUNA I TAI = 3MANI+1

20= VARILUNA = 4MANI (4x5)

Il fatto che la base 5 in questo caso sia fondata sull’utilizzo computazionale della mano può essere desunto dalla denominazione del numero ‘6’ ( NUOVO UNO) del numero ‘5’ (MANO) e del numero ‘10’ ( DUEMANI).

Quanto alle conseguenze filosofiche delle suddette denominazioni (legate soprattutto alla questione kantiana della matematica come disciplina sintetica a priori) si vedrà più in avanti.

La base 5 pure è presente in Africa, Oceania e nel sud dell’India, luoghi dove ancora sopravvivono i relitti di sistemi residuali di notazione numerica.

Questa base (e la mano che è il suo corrispettivo somatico) ha anche delle interessanti connessioni storico-mitiche:

La prima si ricollega alla mitologia indù dove il re Pandu impossibilitato ad unirsi alla moglie Kunti viene sostituito da deità che generamo Yudishtira, Arjuna e Bhima (il giudice, il sovrano e la forza indisciplinata) che vengono identificati rispettivamente con il medio, l’indice ed il pollice. Kunti fa unire con le divinità anche un’altra moglie, Madri, che genera altri due figli tra loro gemelli, Nakula il Bello e Sahadeva (anulare e mignolo, il primo dei quali poco si muove senza il secondo, o senza il medio).

Ancora più interessante è il mito egizio in cui Nut (dea del cielo stellato) si unisce a Geb (la terra), ma viene punita da Ra (il Sole) che gli impedisce di procreare nei 360 giorni dell’anno. Allora Thot, innamorato di Nut gioca con Ra e vince cinque giorni, che vengono aggiunti al calendario e nei quali Nut genera Seth, Horus, Osiride, Iside e Nephtis, rispettivamente pollice, indice, medio, anulare e mignolo. Il fatto che Seth fa a pezzi Osiride si può forse collegare al conteggio che il pollice fa sulle giunture delle altre dita, quasi facendole a pezzi.  

Tale base consente anche di arrivare a numeri più grandi (nella fattispecie fino  al numero 30), contando con una mano le unità e con l’altra le cinquine che risultano con il computo per unità

 ( non è 5x5 ma 5x6 in quanto tenendo aperta a supporto mnemonico la mano delle cinquine si può contare ancora sino a 5 con la mano delle unità). Invece con la base 10 stessa   si può contare fino a 10 con le due mani ma poi il riferimento è direttamente mnemonico o diventa un’ulteriore elemento esterno vista la mancanza di un arto ulteriore.

Ben presto la base 5 si è legata ad un’altra base pure legata agli arti ed alle dita e cioè la base 20.  In realtà è più corretto dire che le basi 10 e 20 siano tentativi di estendere la base 5, in quanto il calcolo delle dita di una mano si può estendere a tutte e due le mani (base 10) ed alle dita delle mani e dei piedi insieme (base 20).

Un utilizzo misto (base 5 e base 20), dovuto forse all’eredità Maya, è presente negli Aztechi:

Con l’ingresso della base 20  il numero ‘20’ diventava non più  « 2mani + 2piedi » ma direttamente ‘uomo’ e dunque una nuova unità di misura antropomorfica :

Per i Banda del Centroafrica il termine per ‘20’ è lo stesso per dire “appendere un uomo”, così come contare le dita di un uomo è trattarlo come morto, esaurirlo, manipolarlo come un pupazzo.

Nei dialetti Maya HUC UINIC = una ventina = un uomo.

Per i Maya il mese era di 20 giorni, come un periodo storico era di 20 anni.

Per i Malinke della Nuova Guinea ‘20’ è sinonimo di ‘uomo completo ’ mentre ‘40’ è sinonimo di ‘letto’ ( dita delle mani e dei piedi di uomo e donna coricati sullo stesso giaciglio ).

Come la base 10 è un’interazione, un sovrapporsi tra due basi ( base 5 e base 2), così la base 20 è una sovrapposizione tra base 10 e base 2  o meglio ancora una doppia simmetria di 5

5        5

5        5

(5+5+5+5)

(5x2) + (5x2)

5x2x2

Così era pure per i Maya, un sistema ausiliare di base 5 o 10 che si iterava dalle 4 alle 2 volte.

Dunque tale base congiunta era utilizzata da

Maya e Aztechi

Tribù africane Malinke, Banda, Yesu Yoruba

Tribù sudamericane Tamanas (Venezuela)

Eschimesi e Ainu di Sakhalin

Essa andò in crisi quando i piedi furono più sistematicamente coperti da calzature.

Di essa rimangono ancora tracce in Spagna, in Gran Bretagna, Irlanda e Francia, forse collegate alla cultura megalitica o almeno a quella celtica.

In inglese troviamo ONE SCORE=1x20 ( SCORE dal sassone sceran = taglio,tacca)

Nell’antico francese 80= QUATREVINGTS=4x20

Un ospedale francese del XIII sec. era chiamato Hopital des quinzevingts (15x20=300).

In latino il termine viginti non è collegabile né a 2 né a 10, ma sembra essere associabile con termini come victi o vincti ( che sta per “legati mani e piedi”) 

I sistemi quinari-decimali e quinari-vigesimali furono comunque sostituiti da quello decimale.

Altra base numerica storicamente importante è la base 12. Essa è stata molto diffusa  e tuttora ha sparsi molti relitti in tutto il mondo (es. fra tutti il termine dozzina).

Essa era usata da Sumeri e Assiro-babilonesi come misura per le lunghezze, le superfici, i volumi e le capacità. In questo conteso la durata della giornata era suddivisa  in 12 periodi detti danna di 2 ore ciascuno; a sua volta il cerchio, l’eclittica e lo zodiaco erano suddivisi da queste popolazioni in 12 beru (settori) di 30° ciascuno.

Per i Romani l’asse, unità di misura di peso e moneta, era divisa in 12 once come pure nel periodo della Rivoluzione un soldo tornese era divisibile in 12 denari tornesi.

Per quanto riguarda le lunghezze 1piede= 12pollici                       1linea= 12punti 

                                                      1pollice=12linee

Per quanto riguarda le misure di peso 12once (once = una volta)= 1 (vecchia)libbra

Per quanto riguarda le misure monetarie 12pence= 1scellino ( da shekel/siclo?)

L’origine della base 12 sta forse nel numero delle falangi ( 3 per ogni dito) computabili utilizzando il pollice come cursore  (3x4=12).

Essa è presente in Indocina, India, Pakistan, Afghanistan, Iran, Iraq, Turchia, Siria ed Egitto (tale diffusione fa pensare ad un utilizzo relativamente recente in ambito islamico) 

L’interazione tra base 10 e base 12 sembra riecheggiare in alcuni termini ed in alcune locuzioni antiche: ad es. in antico tedesco 11= 1 rimasto (dopo che sono state tolte tutte le dita) e 12= 2 rimaste, da cui forse twelwe=twalif=two left=2 lasciate fuori. Anche nella tradizione ebraica il resto d’Israele sono le due tribù che derivano dal sottrarre le dita della mano (10) alla base 12.

Altra importante base, forse collegata alla base 12, è la base 60.

La base 60 presa alla lettera prevedrebbe 60 segni diversi e sarebbe un sovraccarico della memoria.

Essa è stata parzialmente utilizzata dalle civiltà mesopotamiche e da astronomi greci ed arabi per misurare archi ed angoli.

Attualmente viene usata per le misure angolari (e dunque anche latitudine e longitudine) e per le misure cronometriche.

I Sumeri, raffinati commercianti elaborarono un sistema numerico che si basava su 5,10,20.

1,2,3,4,5,5+1,5+2,5+3,5+4,10,20,10x3,20x2,(20x2+10).   60 era una nuova unità che fu denominata geshta per differenziarla da gesh=1.

Imin e ilimmu sono tracce di un sistema a base 5. Anche ash forse è un residuo di questo tipo.   

Come si vede dai numeri oltre il 20, le basi utilizzate e gli algoritmi di composizione sono molteplici, ad indicare l’arcaicità del metodo.

600= gesh-u (60x10)

3600= shar

36000= shar-u (3600x10)

216000= shar-gal (3600x60)

2.160.000= shar-gal-u (3600x60x10)

Numerazione con diversi livelli

1,60,600,3600,216000,2.160.000,12.960.000

1-10-10x6-(10x6x10)-(10x6x10x6)-(10x6x10x6x10)-(10x6x10x6x10x6)-(10x6x10x6x10x6x10)

(10x6x10x6x10x6x10x6)

Perché la base 60?

1.      Ipotesi di Neugebauer. Nei testi economici cuneiformi importanza primaria ebbe l’unità di peso ( lo shekel che era 1/60 del mana ) come l’assis latino che era 1/12 di oncia e poi divenne 1/12 di ora. A tale ipotesi si può obiettare che un sistema metrologico presuppone un sistema di numerazione e non il contrario.

2.       Ipotesi astronomica. Anno 360 giorni ( 12 mesi lunari x 30 giorni); zodiaco 6 costellazioni; sole in ogni costellazione 60 giorni; possibilità di dividere un cerchio in sei parti uguali di 60° ognuna e con la corda di una di esse (sestante) uguale al raggio del cerchio stesso. A tale ipotesi si può obiettare che la suddivisione del cerchio in 360° avvenuta solo negli ultimi secoli a.C., evidentemente dopo l’introduzione della base 60.

3.      60 rapporto tra l’ora sumera (2 h ) e il diametro apparente del sole espresso in unità di tempo pari ognuna a 2 mn.

4.      Ipotesi della natura mista della base 60. Questa sarebbe il frutto di una sintesi tra base 10 e base 6 e la prova sarebbe le modalità di costituzione dei numeri sumeri vista sopra (v. il ruolo del numero ‘6’). Ma questa tesi ha l’inconveniente di dover poi spiegare  l’origine altrettanto misteriosa di questa base 6.

5.      Ipotesi utilitaristica (Teone di Alessandria IV sec. d.C.).Base 60 ha tanti divisori compresi i primi 6 numeri interi di cui è il minimo comune multiplo oltre ad esserlo di 12 e 10. Tale sistema consente di rappresentare molte frazioni con interi (es. ½ sarebbe 30=60/2) Ma questo spiega meglio il successo della base 60 ma non tanto la sua origine. Anche se è ragionevole pensare al frutto di uno studio approfondito fatto da una classe sacerdotale specializzata come quella mesopotamica, visto che si sovrappose probabilmente ad un sistema decimale spontaneamente usato (e di cui vi è traccia come sistema ausiliare).

6.      Ipotesi di Ifrah. Base 60 sarebbe la sintesi tra la base 5 e la base 12 ( fondata sulla conta delle falangi di quattro dita), la base 12 computata su di una mano e quella 5 computata come multiplo del 12 sull’altra mano. Oppure il contrario (la base 5 computata su una mano e la base 12 come multiplo del 5 sull’altra mano): traccia linguistica di quest’usanza  sarebbe in latino il termine “digiti” per indicare le unità ed il termine “articuli” per indicare le decine. Dalla Mesopotamia questa tecnica si sarebbe diffusa ad Oriente (India). Questa è la tesi che per noi è preferibile.  

Ma la base che ha poi storicamente trionfato  è la base 10, un felice compromesso, né troppo grande (con l’inconveniente di troppi segni elementari) né troppo piccola (con l’inconveniente di complicate combinazioni di pochi segni). Inoltre tale base è ben radicata nella costituzione degli arti dell’essere umano (le 10 dita). Il sistema decimale è simmetrico, ed esteticamente gradevole, con una procedura di costituzione periodica dei numeri a tutti livelli praticamente identica ( in pratica non c’è bisogno di basi ausiliarie come nel caso della base 60).

La vasta diffusione della base 10 è forse legata alla discesa degli Indoeuropei ed all’esistenza di una sola lingua madre nel 2500-3000 a.C., giacché le affinità linguistiche del lessico numerico fanno pensare ad un’elaborazione precedente l’inizio della diffusione. Forse il sistema decimale si è costituito ad un’epoca in cui c’era ancora la comunicazione unicamente orale, per cui i simboli scritti sarebbero addirittura più recenti dei numerali.

In certe regioni dell’Africa Occidentale già si può vedere l’utilizzo di una base 10: ad es. gli animali possono venir contati infilando conchiglie in una striscia bianca fino al numero di 10, con il quale si infila una prima conchiglia in una striscia blu che fa da supporto mnemonico esterno, si svuota la striscia bianca e la si riempie di nuovo fino sempre a 10 etc.; quando la striscia blu arriva poi a 10 conchiglie (10 decine), si svuota e si mette una prima conchiglia in una striscia rossa (centinaia) etc.

Anche in Cina troviamo un sistema decimale ben sviluppato:

53.781

Cinquantatremilasettecentottantuno                      33 lettere in italiano letterale

Wu-wan san-qian qi-bai bai-shi yi                     24 lettere in cinese

Cinquediecimilatremillesettecentoottodieciuno       45 lettere traducendo in italiano letterale

Dal precedente specchietto si vede che comunque il sistema cinese è meno rispettoso delle regole del sistema decimale in quanto ad es. 10000 che da noi è chiaramente dieci-mila, in esso è un termine coniato ex-novo (wan)

Aspetti positivi del sistema a base 10 sono come si è già detto:

·        Il miglior adattamento alla memoria umana (rispetto ad es. alla base 60)

·        Una tavola di moltiplicazione facilmente memorizzabile

·        Migliore rappresentabilità grafica rispetto a basi più piccole (es. in un sistema binario 2452 sarebbe 100110010100)

Tuttavia queste ragioni non sarebbero sufficienti rispetto a basi vicine alla base 10, quali la base 11 e la base 12.

La base 12 ad es. preferita dal naturalista francese G. Buffon:

·        Ha più divisori e dunque calcolatori e commercianti sarebbero facilitati perché della base potrebbero utilizzare la metà, un terzo, un quarto ed un sesto.

·        L’anno avrebbe un numero di mesi uguale alla base.

·        Un giorno avrebbe un numero di ore doppio della base.

·        Un ora ed un minuto avrebbero rispettivamente un numero di minuti e di secondi quintupli della base.

·        La misura in gradi del cerchio sarebbe 30volte la base e così pure l’eclittica.

Molte ragioni per preferire la base 12 sarebbero cioè legate al fatto che molte misurazioni si effettuano ancora con base 12 o base 60 e fondamentalmente  sulla presenza di un maggior numero di divisori. Quest’ultimo aspetto ha un inconveniente nella presenza di un maggior numero di ridondanze (doppioni) frazionarie (es. nel sistema decimale 0,68 è lo stesso che 68/100, 34/50 e 17/25).

La base 11 invece ha una rappresentazione priva di queste ambiguità in quanto essendo un numero primo è divisibile solo per se stessa, per cui le frazioni sarebbero irriducibili ed avrebbero una sola rappresentazione simbolica possibile.

Per tutte queste ragioni però la base 10 sembra essere il giusto mezzo tra base 12 (troppi divisori) e base 11 (nessun divisore), oltre ad avere l’indubbio vantaggio di essere esemplificabile in maniera immediata dal numero delle dita delle mani con un forte vantaggio nell’apprendimento infantile. Per Boyer la formalizzazione linguistica e poi scritta di una base 10 già esistente e somaticamente ben riconoscibile, è stata decisiva per il trionfo della base 10. Se, cosa abbastanza improbabile, il linguaggio scritto avesse preceduto la costituzione della base si sarebbe potuto pensare ad una molteplicità di basi.     

Comunque storicamente la scelta della base 10 si è definita in maniera quasi ufficiale e politica con le decisioni prese dalla Convenzione di Parigi dopo la Rivoluzione francese che disciplinò anche i sistemi di misurazione almeno per ciò che riguarda l’Europa continentale.

Nelle popolazioni più primitive le diverse basi hanno distribuzioni diseguali ma qualche residuo arcaico rimane sempre: ad es. Eels nel 1913 fece una statistica tra centinaia di tribù del Nordamerica dove concluse che il 31% faceva uso di una base 10, il 31% di una base quinaria-decimale, il 27% di una arcaica base 2, il 10% di una base vigesimale e l’1% di una base 3.

 Del resto ci sono stati anche dei tentativi di usare basi non legate alla mano tipo la base 4 (anche se più probabilmente tale base è legata all’uso del pollice come cursore che conta le altre dita della mano) di cui vi è traccia nella parola indoeuropea per “8” che sarebbe solo la forma duale di “4”, ed anche nella relazione che si può instaurare tra il termine “novem” ed il termine “novum”, quasi che si fosse di fronte ad una nuova serie numerica su base ottonaria.