La scrittura fu una delle grandi rivoluzioni dell’umanità, assieme al fuoco, all’agricoltura, ai numeri ed alla ruota.

Ad un certo punto della storia dell’uomo sembra che la memoria individuale non basta più, in quanto è limitata, non è verificabile ed è dunque rischiosa. Non ci sono processi psichici collettivi.

Gli oggetti esterni, il legno, la pietra sono più stabili e su di essi si possono sovrapporre magicamente dei significati (in seguito la necessità di supporti sempre più duraturi ed estesi, il rischio di perdere anche lo scritto, è stata uno dei motivi della nascita della burocrazia).

Con la scrittura si ha un sistema che ci permette sia la notazione dei numeri sia le operazioni su di essi, senza alcun supporto esterno (come l’abaco).

 L’invenzione, preceduta da tentativi incerti, da avanzate e stasi, da rivoluzione e repressioni è quella di denotare i numeri mediante i segni grafici: le cifre (sulla contraddizione e sulla dialettica che scaturisce da questo rapporto torneremo più in là).

Inizialmente gli ordini numerici erano definiti da pietre grosse, pietre medie e pietre piccole.

Poi da sassolini di diverse fattezze o messi in diverse scanalature (l’abaco).

Oppure da forme diverse consentite da materiali più teneri (es. la terracotta) che permettono la costruzione di coni, bastoncelli d’argilla, biglie, dischi, sfere etc.

Poi i Sumeri utilizzarono il metodo di perforazione delle pietre per passare da un ordine decimale ad un altro (la logica forse è la stessa delle matrioske e degli insiemi di insiemi…).

Sumeri                                                                                                          Elamiti

Piccolo cono = unità                                                                           Bastoncello = unità

Biglia = decina                                                                                     Biglia = decina

Grosso cono = sessantina                                                                   Disco = 100

Grosso cono perforato = 600                                                             Cono = 300 (60x5)

Sfera = 3600                                                                                      Grande cono perforato = 3000

Sfera perforata = 36.000

223 sumero =   D D D  o o o o  l l l

(60x3)+(10x4)+(3x1)   (al posto dei coni piccoli abbiamo inserito delle lambda)

223 elamita = 0 0 o o ç ç ç

(100x2)+ (10x2)+ (3x1) (al posto dei bastoncini abbiamo inserito delle asticelle)

Nei commerci le bolle di consegna erano (3500 a.C. )in questa fase di pre-scrittura, contenitori sigillati (ed il sigillo equivaleva a firma/nome/immagine/persona) di gettoni variamente modellati (coni, sfere etc.) in pietra o argilla.

I gettoni stanno per le cose.

Sono segni.

Hanno proprietà isomorfe con ciò a cui si riferiscono.

Secondo principi analogici che mettono in correlazione

cose più grandi e cose più piccole

totalità e loro parti

Infinito e finito

Il contenitore sigillato ha al proprio interno, simbolizzata dai gettoni, la quantità effettiva di merce inviata: l’argilla del contenitore ed il sigillo soprattutto conservano e garantiscono quella quantità determinata, il cui numero non deve venir alterato. Il contenitore compatta una molteplicità che, sciolta, potrebbe essere variabile ad arbitrio (ad es. con la sottrazione furtiva); ancor oggi ad es. con la regolarità formale di un titolo di credito ci si preoccupa che una cifra non sia alterata, pena l’alterazione del rapporto di scambio e sociale sottostante.

La cifra scritta ha in un certo senso la stessa funzione della custodia e del sigillo.

Essa garantisce che niente sia sottratto.

Che non ci sia cambiamento..

A parte i più antichi intagli, le più vecchie cifre della storia furono i marchi, le impronte con cui i Sumeri riproducevano su tavoletta (bidimensionalmente) quei gettoni di varie fogge che si usavano prima.

I marchi erano segni di segni, giacché i gettoni già erano segni delle cose stesse, oggetti più piccoli che riproducevano oggetti più grandi. 

Piccolo cono = tacca fine

Biglia = circolo

Grande cono = tacca spessa

Cono perforato = tacca spessa con piccola impronta circolare

Sfera = grande circolo

Sfera perforata = circolo con inscritta impronta circolare (insieme di insiemi)  

Il segno scritto è l’impronta che l’oggetto fa sull’argilla che, asciugandosi ed indurendosi, la rende perenne (si può cioè tracciare il segno ma più difficilmente si può cancellare ed alterare)

Tale impronta è una sorta di proiezione geometrica su di uno spazio con un minor numero di dimensioni: forse per questo la riflessione di Platone sul carattere secondario della realtà sensibile rispetto a quello delle idee deriva da una riflessione sulla pratica di scrittura.

Ma tacche simbolico/numeriche sono già scrittura vera e propria?

Forse la differenziazione degli ordini numerici ( coni, sfere etc.) è già scrittura, senza però forte articolazione simbolica.

I numeri hanno anticipato la scrittura, o meglio la scrittura è stata prima scrittura di immagini e di numeri. Dunque le cifre sono venute prima delle lettere.

Il commercio comunque facilita molto lo sviluppo della scrittura e non a caso l’inventore egizio della scrittura, Thoth è assimilato al dio greco del commercio Ermes.

Il trasporto di simboli è più facile di quello delle cose.

Distinta commerciale (3000 a.C.) aveva su recto e su verso voci di merci corrispondenti scambiate ( lo schema forse su cui si innesteranno le future partite doppie e i vari ordo idearum ed ordo rerum di tipo spinoziano) oppure la molteplicità sparsa da un lato ed il totale dall’altro, come nei problemi matematici che si affrontano nelle scuole elementari.

Su prime tavolette elamite vicino al totale (SU-NIGIN) c’era un segno particolare che stava per la firma dell’estensore del documento o per il tipo di merce indicato.

I segni si ottenevano secondo il tipo ( grande/piccolo  rotondo/appuntito) di punta utilizzata, del verso e dell’angolazione con cui il calamo veniva impresso nell’argilla.

Si andò da una scrittura di segni/immagini (pittogrammi) che rappresentavano anche visualmente il significato (segni iconici o che almeno indicavano una parte per significare il tutto) ad una scrittura di segni stilizzati e convenzionali (ideogrammi) più o meno arbitrari per esprimere significati più complessi:

GAMBA = gamba              camminare                   andare             stare in piedi         correre

DISCO = disco           sole                  giorno              calore              luce

ARATRO = aratro                  arare                agricoltore                   seminare

Inoltre ogni pittogramma può essere letto con più parole sumere diverse e si riscontrano segni determinativi che non hanno un significato in sé ma contribuiscono a delineare il significato della parola che accompagnano.

La scrittura sumerica più antica presentava anche dei veri e propri aggregati logico-semiotici:

BOCCA + PANE = MANGIARE (KANINDA?)

BOCCA + ACQUA = BERE (KA-A)

BOCCA + MANO = PREGARE

OCCHIO + ACQUA = PIANGERE

DONNA + MONTAGNA = SCHIAVA (NINKUR?)

UCCELLO + UOVO = PARTORIRE

Altri esempi:

A.ZU (accadico ASU)    A = ACQUA  ZU = CONOSCERE    AZU = MEDICO,GUARITORE.

Colui che sa dove è l’acqua.

Colui che purifica (e disinfetta) con l’acqua.

Colui che sa come usare l’acqua.

Colui che sa preparare intrugli liquidi.

Inizialmente però i segni non esprimevano delle unità foniche. Solo quando il sistema pittografico si relazionò alla lingua parlata, e quando si dovettero esprimere idee astratte non corrispondenti con oggetti della vista, operando una mediazione tra precisione del linguaggio (che si riferisce anche ad eventi, azioni e situazioni poco riproducibili dal punto di vista iconico) e sua permanenza allora i segni persero valore ideografico e ne acquistarono uno fonetico (Heidegger che in un certo senso cerca di risalire all’indietro fa un’operazione complessa e rischiosa, anche se i presupposti ci sono, in quanto ad es. nell’ideogramma sumero TI = freccia = vita è possibile ricostruire una relazione di senso tra i due diversi concetti accomunati dal medesimo segno che ad essi si riferisce). Gli Accadi (popolazione che conquistò le città sumere e ne assimilò la civiltà) utilizzarono il pittogramma di “acqua” tutte le volte che ricorreva il fonema “A” e così pure per tanti altri pittogrammi e fonemi. I segni stilizzati subirono anche una rotazione di 90° gradi (cambiò l’orientamento della scrittura e della lettura dall’alto/basso a destra/sinistra) che li fece perdere sempre più contatto con il disegno originario e determinò la fine del mimetismo iconico della scrittura, almeno in quell’ambito. 

La conoscenza per le popolazioni mesopotamiche era apparentemente la polymatheia denunciata da Eraclito a proposito di Pitagora (guarda caso!):

molteplicità d’esperienza

osservazioni caleidoscopiche sull’apparenza

acquisizione di più dati possibili

elenchi ampi, puntigliosi, onnicomprensivi

lunghe liste botaniche e mineralogiche.

Conoscere è inizialmente ricordare più che comprendere, il progresso delle conoscenza si ha inizialmente con l’elaborazione di una mnemotecnica.

La razionalità greca di cui andiamo tanto fieri con le sue catene deduttive è la più brillante delle tecniche della memoria, una collana grazie alla quale tirando una perlina si tirano insieme tutte le altre (logòs da leghein ) e così facendo si può trasmigrare in un’altra esistenza senza portare con sé tutto il mondo ma semplici icone collegate in un disegno, in confezione tascabile magari.

In sumerico

L’addizione è GAR.GAR (metti-metti : continuare a mettere)

La moltiplicazione è TAB (raddoppio di unità II )

Il segno cuneiforme è SAG.DU o SAG.TAG (tacca a forma di fronte) ▼ (accadico santakku)

Il trapezio è SAG.KI.GU (fronte di bue)

La curva è GAM (curvarsi, inginocchiarsi, sottomettersi, morire)    ) k

La circonferenza e KA.KES (legare, dunque mettere insieme e racchiudere in un contenitore)

L’area è A.SA (campo)

La base di un solido è KI (terra,luogo)

L’altezza è SUKUD

La larghezza è DAGAL (vastità)

Il cateto è US

Il prodotto della moltiplicazione è A.RU

La perpendicolare è WRD (discendere)

Il lato del quadrato è IB.SA (eguagliare)

La diagonale o l’ipotenusa del triangolo rettangolo è BAR.TA o BAR.NUN

In accadico

L’addizione è kamaru (ammucchiare) da cui kimirtu (somma) opp. wasabu (aggiungere) da cui sibtu (aggiunta, interesse).

La sottrazione è harasu (recidere, ridurre)

La moltiplicazione è esepu (ripetere,raddoppiare) opp. wabalu/nasu (portare…ad un dato valore numerico?) oppure alaku (andare) oppure akalu (mangiare) nella sua forma causativa (far mangiare) . Essa presuppone il tempo, il movimento, che trascina con sé, che divora i suoi figli.

La divisione è  zazu (dividere in varie parti),da cui zittu (quota di eredità), oppure hepu (distruggere,frantumare)

Il numero reciproco è igu dal sumero IGI (occhio; forse perché l’occhio, lo sguardo sono il corrispettivo della realtà?). Da igu derivano igigubbu (coefficiente) e igitennu (frazione)

La radice quadrata o cubica è basu

Il diametro è tallu (linea divisoria)

Il cerchio (o l’arco di cerchio) è kippatu (da curvare,piegare)

Arco di cerchio è pure askaru (luna crescente)

Disegnare una figura è nadu ( forse dal sumero NA.DU, che significa più o meno “porre le fondamenta di un tempio”, cosa che ribadirebbe il rapporto tra geometria e architettura sacra)

La perpendicolare è warittu, l’altezza è melu, la larghezza è rupsu

L’altezza del triangolo è siddu (da sdd “tirare” da cui “lato”,”bordo”)

La matematica in Mesopotamia era strumento di conoscenza e di potere (costruzione edifici, riscossioni imposte, calcolo interessi, computo del tempo e regolazione delle attività agricole). Essa non era oggetto di libera discussione, ma applicazione della regola, anche se i problemi matematici avevano didatticamente dei momenti ludici che fanno pensare ad un embrione di interesse teorico vero e proprio.

Nelle tavolette di Shuruppak del 2650 a.C. troviamo anche un’operazione complessa di divisione, molto complicata dato il tipo di sistema di notazione numerico usato, poco adatto alle operazioni sulle varie quantità numeriche.

Il problema trattato è pressappoco questo:

dato che ogni uomo ha una razione di sette dosi d’orzo, quanti uomini possono ricevere tale razione a partire da un ammontare di 1.152.000 dosi d’orzo?

Sull’altro lato delle tavolette c’è la soluzione ma non c’è una procedura algoritmica vera e propria che in quanto tale può solo essere inferita. Il procedimento utilizzava i gettoni a cui si è già accennato:

I solutori hanno utilizzato prima le sfere perforate ognuna delle quali valeva 36000 unità e le hanno sommate ordinandole in gruppi di sette ottenendo 4 colonne + 4sfere perforate (il resto).

Per ridurre le 4 sfere perforate sono state utilizzate le sfere semplici, ognuna delle quali valeva 3600 unità, che si sono sommate in gruppi di 7 ottenendo 5 colonne + 5 sfere semplici (resto).

Per ridurre le 5 sfere semplici rimaste si sono addizionati in gruppi di 7 i coni perforati (600 unità ognuno) con il risultato di 4 colonne + 2 coni perforati (resto).

Per ridurre i due coni perforati si addizionano in gruppi di 7 i coni semplici (60 unità ognuno) con il risultato di 2 file + 6 coni semplici (resto).

Per ridurre i 6 coni semplici si usano le biglie (10 unità) ottenendo 5 colonne + 1 biglia (resto)

Quest’ultima viene ridotta in 1 fila di piccoli coni + 3  piccoli coni (resto).

Il quoziente definitivo è (tanti pezzi quante sono le colonne):

4 sfere perforate (4x36000) = 144.000

5 sfere semplici (5x3600) =      18.000

4 coni perforati (4x600) =           2.400

2 coni semplici (2x60) =                120 

5 biglie (5x10) =                               50                                             

1 cono piccolo (1x1)    =                    1

resto 3 coni piccoli                   ___________

                                                 164.571

Nelle stesse tavolette di Shuruppak troviamo forse il primo esempio di metodo sottrattivo  

di notazione numerica dove il numero 2360 e scritto come “2400 meno 40”.

I momenti alti della matematica mesopotamica furono l’età sumerico-accadica (3000-2000 a.C.), il Primo Impero babilonese (1850-1600 a.C.) e il Secondo Impero babilonese (612 – 300 a.C.). Il periodo dal 1600 a.C. al 600 a.C. fu di decadenza, come pure lo fu per l’Egitto l’intero periodo degli Hyksos e il Medio Regno.

I geroglifici egizi

I geroglifici egizi non sono ripresi dalla scrittura sumera.

Essi si basano su utensili e sulla fauna egizia.

Gli Egizi usano decimali e non i sessagesimali mesopotamici.

Dunque la scoperta dei numeri non ha avuto una sola sede con successiva diffusione, ma è stata ottenuta autonomamente da diverse civiltà in presenza di condizioni storiche più o meno omogenee (Sumeri, Egizi, Cretesi, Indiani, Precolombiani, Cinesi).

Necessità di ordine contabile,amministrativo,commerciale hanno favorito tali processi.

Necessità superamento memoria soggettiva e cultura orale.

Anche scrittura egizia prima numerica, poi letterale.

Primi reperti:

Tavolozza di N(A)-M(E)R 2900 a.C.

400.000 tori

1.422.000 capre

120.000 prigionieri

Statua di Khasekhem 2800 a.C.

47.209 nemici uccisi

4 dita   7 loti    2 spirali            9 trattini

Non c’è bisogno di ZERO perché gli ordini numerici anche qui sono contraddistinti da diversi pittogrammi, forse a riprodurre una gerarchia anche sociale rigida, letterale e non funzionale.      

All’inizio numeri disposti in maniera disordinata.

Dal XXVII sec. a.C. più ordinati (file di non più di 3-4 segni identici.

Valori decrescenti a sinistra, crescenti a destra (inverso che da noi).

Origine grafica delle cifre egizie più complessa di quelle sumeriche ed elamitiche:

·        1= ê. (bastoncino/trattino)   L’origine di questo simbolo è naturale e deriva da tacca su osso. Oppure è un piccolo pezzo di fune.

·        10= ∩.(Ansa ). Forse laccio utilizzato per legare bastoncini/trattini tra loro. Oppure un pezzo di corda più lungo a ferro di cavallo.

·        100= ๘ (spirale; in egizio ‘sn’). Simbolo di grande numero (labirinto?). Dal trattino.. alla linea curva…alla spirale. Sembra quasi una sequenza logicamente ricostruibile. Oppure un giro di corda avvolta.

·        1000= ط (fiore di loto; in egizio ‘kh’ ). Fiori di loto erano moltissimi e dunque assurgevano a simbolo di grande numero. Oppure usato perché il fior di loto è l’iniziale di khaa = la corda che misura.

·        10.000 = æ (dito piegato; in egizio ‘db’). Probabilmente riproduzione di notazione numerica con le dita della mano.

·        100.000= Ì (girino; in egizio ‘hfn’).  Anche girini erano moltissimi e dunque simbolizzavano grandi numeri.

·        1.000.000= uomo inginocchiato che alza braccia al cielo. In egizio dw’=adorare o rdit iw = lodare o fare festa (forse il corrispettivo del latino divitiae=ricchezze,abbondanza)

Quest’ultimo simbolo può avere a sua volta molteplici interpretazioni:

1.      Uomo impaurito dalla grandezza del numero

2.      Uomo che prega Dio/Infinito

3.      Uomo che regge volta celeste (Atlante)

4.      Uomo che prega le stelle, che per la loro numerosità sono il miglior simbolo dell’Infinito o quanto meno di un numero incalcolabile. Le stelle per i Cinesi simboleggiavano il 1000. Le stelle per gli Ebrei erano l’esercito stesso di Jahvè. Dell’oggetto dell’adorazione non si dà figura: non è possibile e non ve ne è bisogno.

·        10.000.000= ☼ (sole con raggi). Simbolo di Ra? L’Infinito?

L’importanza del computo era tale in Egitto che l’anima del faraone defunto nell’aldilà doveva tra le altre prove contare con le mani fino a 10 e lo faceva in maniera continua dal mignolo della sinistra a quello della destra, oppure dal pollice al pollice. Probabilmente in Egitto la base ausiliaria 5 non era valorizzata in quanto ad es. per indicare il 6 non si faceva 5+1 ma 3+3, alzando tre dita di una mano e tre dita dell’altra. Anche gli Egizi usavano la conta delle falangi e lo facevano in base 12 ma anche in base 14 (contando anche le 2 articolazioni del pollice con l’indice quasi a figurare la castrazione di Seth ad opera di Horus) correlando la conta con le dita con quasi metà del ciclo lunare (14 sarebbero i 14 giorni della luna calante). A conferma di questa tesi c’è l’uso egizio di affiancare al cubito (28 dita) ed alla spanna (14 dita) il cubito corto (24 dita) e la spanna corta (12 dita).

Il sistema di numerazione decimale ed additivo tra il 2000 e il 1600 a.C. subisce una modifica in quanto , se un numero inferiore precede un numero superiore ci troviamo di fronte ad una moltiplicazione (es.๘∩∩ ط = 120x1000= 120.000): ci troviamo di fronte cioè ad un sistema non solo additivo ma anche moltiplicativo.

La notazione geroglifica venne poi sostituita da una notazione ieratica sempre decimale in cui i numeri da 1 a 9 avevano ognuna un simbolo indipendente dovuto alla stilizzazione dei geroglifici precedenti (e soprattutto al fatto che l’impraticità di allineamenti col pennello ha generato alla fine nuovi segni autonomi ed indecomponibili). Tale notazione ieratica è stata la prima di questo tipo (inizi I millennio a.C.) ed ha influenzato sia la notazione numerico-alfabetica greca sia la notazione indiana.

La matematica egizia è comunemente considerata rozza, ma in tale giudizio non si tiene conto della scarsità dei dati archeologici a nostra disposizione e del fatto che i Greci hanno sempre esplicitamente fatto riferimento all’influenza che essi hanno ricevuto dalla cultura egiziana, dal tempo in cui il faraone Amasi consentì ai Greci stessi di costituire dei propri empori commerciali nella città di Naucrati (600 a.C. circa). A quanto pare, Erodoto, Ecateo, Pitagora, Democrito hanno a lungo soggiornato in Egitto. Inoltre ci sono nei non molti papiri tradotti riferimenti a concezioni spregiudicate della conoscenza: sia l’architetto Ineni che il funzionario Senmut (entrambi 1500 a.C.) parlano dell’opera della propria mente soggettiva, di immagini che non si trovano negli scritti degli antenati. Alcuni studiosi ipotizzano che ci fosse in Egitto una tradizione di matematica astratta, che nei periodi di decadenza veniva resa ritualistica ed esoterica.

La matematica per la civiltà egizia era indispensabile per il controllo delle piene del Nilo, per lo scavo dei canali e la costruzione di bacini idrici, per i censimenti, la riscossione di tributi, la distribuzione di terre e la costruzione di silos. Erodono dice che il faraone Sesostris faceva misurare l’estensione di terra danneggiata dall’inondazione per rimborsare i contadini; coloro che operavano le verifiche erano i c.d. “harpedonaptai” (tenditori di corde) ammirati dovunque e conosciuti anche da Democrito. La fonte principale della matematica è il c.d. Papiro di Ahmes, dove il contenuto per noi strettamente tecnico-didattico è presentato come “la penetrazione di tutto l’esistente, la conoscenza di tutti gli oscuri segreti”: sembra quasi che il Pitagorismo abbia tratto qui ispirazione e che tutto il mistero di questa conoscenza iniziatica si risolva nella matematica che noi studiamo a scuola: miracolo della prospettiva storica!

Gli Egizi facevano anche operazioni aritmetiche.

L’addizione si faceva con la collezione di segni e con la sostituzione di 10 segni di ordine inferiore con un segno di ordine superiore.

Es. 1729+ 696= 2425

III ∩∩  ๘๘๘๘ ﻄ              

III        ๘๘๘              

III                               +

III ∩∩∩ ๘๘๘

III ∩∩∩ ๘๘๘

     ∩∩∩         

-------------------------

III        ∩∩    ๘๘๘๘ طط

 II

(rip.1) (rip.1) (rip.1)

La moltiplicazione e la divisione per 10 e multipli di 10 si fa sostituendo ogni simbolo con il decuplo per ciò che riguarda la moltiplicazione, e con il decimo per quel che riguarda la divisione.

La moltiplicazione con altri numeri:

Si parte dalla duplicazione (e cioè dalla moltiplicazione x2 ) che forma una serie che consideriamo costante (1-2-4-8-16-32 etc.) e poi si prende una serie che consideriamo variabile e che parte dalla duplicazione del moltiplicatore:

es. 128x12 

1                    12                         In questo primo caso nella duplicazione a partire da 1 si giunge al

2                    24                         moltiplicando e si vede il numero corrispondente dell’altra serie che

4              48                         è esattamente il prodotto cercato (in questo caso 1536).

8          96

16               192

32        384           

64        768

128        1536                                  

es. 84x15                                In questo secondo caso non si giunge direttamente al moltiplicando ed

1          15                               allora nella duplicazione della serie costante si giunge al numero ante-

2          30                               cedente quello maggiore del moltiplicando e si estrae quello corris-

4*        60*                              pondente dell’altra serie; poi si tenta di ottenere il moltiplicando addi-

8          120                             zionando al numero raggiunto nella prima colonna alcuni numeri della

16*      240*                           prima colonna stessa e, quando il moltiplicando è stato ottenuto, si est-

32        480                             raggono i numeri corrispondenti dell’altra colonna e si sommano tra

64*      960*                             loro ottenendo così il prodotto desiderato (in questo caso 1260)

64+16+4=84

960+240+60= 1260  

L’algoritmo per la moltiplicazione implica la regola per cui ogni numero può essere espresso come la somma di potenze intere di due (bella forza! Tra queste ci sono il numero 2 alla zero, cioè 1 e 2 alla prima e cioè 2).

 La divisione pure va per duplicazioni, ma procedendo in senso inverso e si fa senza resto (altrimenti sarebbe tutto molto più complicato)

es. 1476:12

1*        12*                  768+384+192+96+24+12= 1476

2*        24*                  64+32+16+8+2+1= 123

4          48                    Il risultato è 123.

8*        96*

16*      192*

32*      384*

64*      768*

            1536                    

Questo tentativo era empirico, approssimato, per tentativi ed errori, lento.

Potrebbe essere considerato un’anticipazione primitiva della tavola pitagorica, ma d’altro canto ne sembra anche un tentativo di estensione empirica

Esso non è riassumibile in un algoritmo e dunque non è universalizzabile.

Il carattere analitico della matematica sembrerebbe il frutto di processi storici, dovuti forse alla sistematizzazione della materia.

L’esistenza di divisioni con soluzioni non intere (in pratica con il resto) portò alla scoperta dei numeri frazionari che in Egitto rimasero, tranne alcune eccezioni, frazioni unitarie (1/2, 1/8, etc.)

Alcuni reperti rimastici contengono appunto tabelle di riduzione di frazioni in frazioni unitarie, forse perché queste erano funzionali agli obiettivi di distribuzione delle risorse. Simbolo stupendo della riduzione a frazioni unitarie è l’occhio di Horus (frantumato da Seth in un duello teogonico) che si chiama ujat e cioè “sanato, reintegrato” e che è la somma di ½+1/4+1/8+1/16+1/32/+1/64…

Manca ancora 1/64 che viene magicamente aggiunto da Thoth, quasi a completare ciò che l’uomo da solo non può ricostruire (questo metodo ed alcune progressioni già conosciute dagli Egizi fanno pensare che lo stesso paradosso di Zenone abbia preso ispirazione dalla terra del Nilo). Il termine che sta per frazione è rappresentato dall’ideogramma della bocca (r’) che indica proprio la fenditura, la separazione, la scissione, la divisione. Frazioni speciali erano 2/3, ¼ e ½ che avevano speciali ideogrammi (2/3 aveva un ruolo fondamentale nel calcolare le frazioni unitarie di un intero).

 Dunque la matematica egiziana sarebbe fatta di poche abilità di base (duplicazione, 2/3) e stringhe di algoritmi memorizzate. Gli Egizi tuttavia sapevano elevare al quadrato, estrarre radici calcolare superfici, usavano rudimentali funzioni trigonometriche per calcolare le pendenze, si approssimavano all’area del cerchio, a quella del tronco di piramide e si sospetta anche a quella di un’emisfero (più di 1000 anni prima di Archimede).

Comunque l’apparenza rozza della matematica egizia può ben essere spiegata con la scarsità di materiale archeologico (il papiro è facilmente deperibile) e con il fatto che in tutto il Vicino Oriente dal 1600 a.C. all’800 a.C. circa vi è stato un periodo di forte involuzione culturale, tanto che lo stesso estensore del papiro di Ahmes (fonte principale per quanto riguarda la matematica egizia) ha fatto risalire il suo sapere a più di un secolo prima se non ad Imhotep stesso.

La scrittura cretese fu elaborata da responsabili di amministrazione burocratizzata.

Il sistema di numerazione decimale era come quello egizio.

Sistema geroglifico cretese:

1= piccolo arco di cerchio variamente orientato.

10= circolo tipo numerico-elamita

100= grande tratto obliquo

1000= losanga (rombo)

Sistema lineare cretese:

1= trattino verticale

10= barra orizzontale

100= cerchio

1000= cerchio con 4 trattini secanti la circonferenza

10.000= 1000 con barra interna orizzontale (1000x10)

46.568= 4(10.000) 6(1000) 5(100) 6(10) 8(1)

Aztechi con scrittura figurativa, compromesso stile rebus tra notazione pittografia e notazione fonetica es. città ITZTLAN = ITZTLI (lama, ossidiana) + TLAN (dente)

Numerazione azteca su base 20

1= cerchietto

20= ascia (div. in 2) tw. Twenty. Forse per derivazione da 2.

400= (20x20) / (il simbolo è più precisamente una sorta di freccia con più punte a diverse parti del fusto a rappresentare una pianta con più rami, tipo abete). Tale simbolo forse non a caso rende benissimo l’elevazione a potenza e il principio di autoduplicazione dei frattali.

8000 = (20x20x20)= borsa con granaglie (rende l’idea dell’insieme provvisto di un sacco di elementi. Ricordate la bottiglia piena di fagioli di Raffaella Carrà? Ecco!)

Tranne per la base vigesimale comunque la numerazione azteca è simile a quella egizia, cretese ed ittita.

Popoli lontani, cronologicamente e geograficamente, grazie ad identiche condizioni materiali di base hanno sviluppato sistemi numerici simili (quasi a suggerire una legge storica che ad identici problemi materiali ed identiche condizioni di base corrispondono identiche risposte culturali), basati su principio additivo

Equivalenza tra valore numerico dei simboli (cifre) utilizzati e valore numerico sottostante.

es. 1464 in Egizio è 1bambù-4spirali-6anse-4trattini.

Grecia

Epoca omerica

1= · ( ½ [cerchietto,archetto, trattino]

10= ¾ o (trattino orizzontale, cerchietto più grande)

100= ד

Esempio:

1

5

10        2x5

50     2x5x5          

100   2x5x5x2      

500      2x5x5x2x5

1000      2x5x5x2x5x2

5000      2x5x5x2x5x2x5

Nella tecnica primitiva di computo per intaglio

39 manzi era così descritto:

IIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIIIXIIIIVIIII

      5      10    15    20    25    30    35    39

Tale notazione cardinale era molto scomoda anche se non ci costringe a memorizzare, in quanto ci espone fortemente alla confusione percettiva.

Dunque si passò alla notazione ordinale in cui si passa da

I     II    III    IIII

a

IIII

Dove il numero è in sé una totalità che riassume in sé i momenti che l’ hanno costituita, ha in sé la memoria della sua autocostituzione.

Il fatto che la numerazione greco-latina sia derivata dalle tecniche della numerazione per intaglio è indirettamente provato dal fatto che popoli più primitivi dei Romani (Dalmati, Tirolesi, Germano-Scandinavi) sono pervenuti autonomamente ai principi della numerazione latina (es. principio sottrattivo era presente pure presso gli Etruschi) 

Indiani Zuni: 1= I (tacca)    5= V     10= X      Gli stessi segni!!!

Comunque forse il principio sottrattivo ha facilitato l’invenzione dell’algebra ed anche quello della cronometria ( le cinque meno un quarto…)

In latino computo/conto è ratio.

Ratio come logos vuol dire rapporto, comparazione come ad es. tra pecore e sassi.

Pensare è rationem  putare. Putare è fare una tacca, tagliare.

Rationem putare  è istituire un rapporto con una cosa facendo una tacca sul legno (analogia già ben nota tra la mente ed una lama).

Le notazioni numeriche romano-medievali invece erano complicate e compromettevano l’effetto originario (economia di simboli) del principio additivo.

Il sistema latino, ricorrendo a più principi, più basi, a più convenzioni perse di coesione e finì per precludersi molte possibilità operatorie, risultando essere alla fine una regressione.