Analisi Filosofica

Quali sono le considerazioni che vanno fatte alla fine di questo lungo percorso sulla storia delle cifre?

La prima è che lo sviluppo dei sistemi di numerazione può ben essere ricostruito in maniera lineare e razionale:

All’inizio, come gli animali, l’essere umano conosce solo molteplicità concrete , totalità composte da pochi elementi , che non superano quella soglia percettiva oltre la quale sono facilmente possibili l’errore e la confusione. Ci troviamo di fronte a coppie, terzetti, oltre i quali v’è il mare magnum della molteplicità pura (simboleggiata dai numeri tre e quattro, oppure dai capelli etc.). Questo limite era possibile spostarlo leggermente in avanti. La conta più complessa diventa fattore di angoscia e di turbamento.
Per computare molteplicità più grandi, si utilizza il conto per comparazione, che opera con corrispondenze biunivoche tra la molteplicità considerata ed altre molteplicità più maneggiabili (es. sassolini). Ciò consente di controllare le molteplicità stesse pur senza saper contare in senso proprio. Tali molteplicità sono omogenee ma discontinue (v. i sassolini) e non permettono la costituzione interiore di una nozione come quella di numero.
A questo punto si verifica una biforcazione: da un lato il corpo diventa strumento di computo, dall’altro la rappresentazione del computo stesso si comincia a registrare con tacche ed intagli su osso o su legno, creando gli antecedenti della cultura vera e propria. Si sviluppa dunque una separazione tra computo/calcolo e registrazione che sarà sanata solo al termine di questa grande impresa cognitiva. Al tempo stesso la conta con il corpo permette di serializzare le molteplicità su di una linea continua e di utilizzare le articolazioni corporee come scansioni differenti all’interno di un computo continuo, scansioni che diventeranno col tempo i numeri veri e propri (almeno nella versione ordinale). Inoltre il computo con tacche è una variante della conta per comparazione, ma una variante che porterà alla scrittura, cioè alla stabilizzazione di un rapporto semiotico tra due serie di entità ed alla interiorizzazione successiva del computo stesso. La compresenza tra computo somatico (che differenzia le scansioni) e registrazione ad intaglio (che interiorizza una delle serie che vengono comparate) faciliterà la sortita dei numeri cardinali veri e propri.
Nel frattempo l’osservazione dei fenomeni celesti (il primo dei quali sarà quello delle lunazioni) contribuirà fortemente alla costituzione delle rappresentazioni numeriche, alla modalità del computo ed alla scelta successiva delle basi numeriche.
La conta con il corpo si evolverà in rappresentazioni collettive con strumenti di comunicazione multimediali, quali la versificazione ed il canto. Tuttavia la nascita della scrittura darà grande impulso ad altre forme di rappresentazione numerica.
Dalla conta con il corpo si va alla conta fatta con le mani, organo pieno di articolazioni, ottimo dunque sia per il computo semplice che per il calcolo. Con la conta con le mani si sviluppa la base 4 e soprattutto le basi 5, 20 (aggiungendo i piedi) e infine 10. L’interazione tra computo manuale e fenomeni astronomici porta all’adozione della base 12 e poi della base 60.
la conta per tacche, per evitare le ben note confusioni percettive, porta all’elaborazione di simboli nuovi per determinate molteplicità (guarda caso 5 e 10!), inaugurando l’uso di simboli specifici che si svilupperanno nei numeri cardinali ed anticiperanno al nascita della scrittura.
La scrittura vera e propria (che porterà al superamento delle molteplicità concrete) giustifica prima una notazione additiva, a simboli diversi per i vari ordini numerici. Il calcolo viene effettuato con procedure empiriche, quasi a tentativi ed errori.
L’interazione tra notazione additiva e simboli specifici per ogni ordine numerico porta alla notazione moltiplicativa, mentre per il calcolo viene inventato uno strumento che sintetizza la mobilità dei sassolini e la struttura articolata ma continua della mano, e cioè l’abaco.
Lo sviluppo della notazione moltiplicativa verso una scelta di basi numeriche più sistematicamente applicate (principio delle operazioni ricorsive), l’influsso dell’abaco inteso come schema operativo ed infine l’utilizzo sistematico di cifre specifiche per i singoli numeri (codifica in cifre) generano una nuova numerazione, detta posizionale. Questa consente di ottenere un numero qualsivoglia grande aggiungendo semplicemente un segno.
La numerazione posizionale, comportando il problema della posizione (ordine numerico) vuota, necessita di un simbolo per l’assenza di numero che diverrà poi un numero vero e proprio: lo zero.

Quali sono invece le considerazioni di tipo storico e metodologico che possono derivare da tale excursus?

	La prima è che questa sorta di microstoria della scienza può aprire un campo illimitato di studi, soprattutto nella direzione dell’enucleazione husserliana delle operazioni “originarie”, costitutive di senso, che hanno delineato i diversi universi del discorso scientifico. Naturalmente tale enucleazione non ci riporta ad un livello originario, ma semplicemente ci consente una o più operazioni ermeneutiche, nel senso di una scomposizione (smontaggio) del discorso che permetta nuove ricomposizioni, nuove elaborazioni ipotetiche in un processo di riappropriazione soggettiva (individuale e collettiva) del sapere. In quest’ambito assume senso lo scandaglio etimologico che ci può restituire un’accezione più elementare dei contenuti di scienze più specialistiche, senza incorrere però nell’errore di Heidegger (che riduceva tutta questa prassi allo scavo del greco antico, o del tedesco moderno, in una sorta di “imperialismo culturale”).
	La seconda è che la storia della cultura è una storia che ha una forte dimensione collettiva, nel senso che l’individuo apporta certamente un contributo creativo ed originale, ma che una figura geniale “risolutiva” (tipo Einstein) è più un mito: quella che sembra tale è solo l’ultima di tante figure che hanno tutte insieme saturato lo spazio delle possibilità teoriche delineato da un problema
	La terza è che la storia della cultura non è lineare, cioè non ci consente assolutamente di prevedere i fattori che promuovono uno sviluppo ed un progresso culturale, se non nel senso generico del mantenimento di una pluralità di tradizioni di pensiero, di investimenti forti nella produzione e nella riproduzione della cultura e infine dello sviluppo delle linee di comunicazione tra diversi ambiti cognitivi e le diverse dimensioni della prassi sociale. In pratica è sterile pensare che un modello concettuale debba esplicitamente competere con altri sulla base dell’assunto che esso incarni più degli altri la verità o lo spirito del tempo. L’interazione tra modelli di pensiero sarebbe meglio assumesse forme cooperative e portasse a nuove sintesi, o quantomeno se competizione creative debba esserci, essa va effettuata implicitamente sul terreno concreto del contributo che i singoli modelli ci danno per capire, prevedere, agire nel migliore dei modi possibili.
	Quasi come corollario della tesi precedente, non c’è una vera e propria contrapposizione tra laicità e religiosità nel campo culturale: la religione può fare al tempo stesso da stimolo o da ostacolo a seconda della situazione, ma questo non può essere considerato in astratto. In realtà le invenzioni e le scoperte sono frutto dell’interazione di diversi universi simbolici, tra cui anche quello mitico-religioso. Oggi deve essere consentito ad ognuno di elaborare una propria visione-del-mondo in cui si possono ibridare diverse istanze concettuali e non è un caso che nel Novecento gli stessi scienziati hanno avuto diverse concezioni della vita, del mondo e della scienza senza avere alcun complesso di colpa.
	La quinta considerazione è che tutte le rivendicazioni imperialistiche o nazionalistiche di scoperte, invenzioni modelli concettuali sono spesso capziose e forzate, ma soprattutto lasciano il tempo che trovano. Il processo cognitivo che ha portato all’attuale sistema di numerazione è un processo dove tutte le culture hanno portato qualcosa e dove il risultato è stato poi fruito da tutte le culture: il problema infatti non è tanto la produzione culturale, fenomeno cui si possono predisporre solo le condizioni che lo possano favorire (ma che non si può in alcun modo programmare), ma la riproduzione della cultura, che coinvolge interi sistemi educativi e formativi, ma che deve essere considerata parte integrante della produzione stessa ed in cui la filosofia stessa può giocare un ruolo.
	La sesta considerazione è che il mondo della matematica almeno per quanto riguarda i suoi inizi non è affatto avulso dal contesto culturale circostante e da altri universi di discorso. Questa ricchezza mitica, simbolica, sociale del mondo matematico ci dà la speranza di ritrovare il filo rosso che può superare la famosa divisione delle due culture o meglio (per dirla con P. Odifreddi) delle due mezze culture. Se si riuscisse ad operare il collegamento effettuato in quest’ambito (quello dei sistemi di numerazione) con gli sviluppi successivi della matematica, potremmo dire di aver fatto dei grossi passi avanti
	Settimo punto è la relazione che il mondo dei numeri e del computo intrattiene con il linguaggio parlato, con la dimensione psicologica e sociale del tempo, con il livello del corpo inteso come strumento simbolico ed infine con il potere e la sua istanza di controllo. Il numero sembra essere una soluzione di continuità tra questi ambiti sociali e culturali, uno strumento di conoscenza che fa luce su tutti questi contesti. Più che giaculatorie sulla natura estraniata di un presunto “sapere dell’Occidente”, tali implicazioni ci devono spingere a raffinare la nostra istanza critica, a selezionare strumenti di intervento cognitivo più calibrati per evitare ulteriori incrementi del grado di espropriazione del sapere inflitto alla collettività
	Ultimo punto è che la tendenza ad individuare nel numero l’essenza della Realtà non è un portato esclusivamente occidentale: basti pensare all’ossessione Maya per il computo temporale, alla numerologia cinese (si legga Granet a tal proposito), e forse pure alla numerazione orale degli Indiani (uno dei sistemi filosofici più importanti dell’India, il Samkhya deriva il proprio nome proprio dal lemma indiano per “numero”).

Quanto agli stimoli filosofici che ci possono essere forniti da questa genealogia dei sistemi numerici, essi potrebbero essere persino troppi.

Il primo comunque è quello legato alla natura specifica della conoscenza matematica, analitica per il Logicismo ed il Neopositivismo, sintetica a priori per il Kantismo, addirittura empirica per alcuni filosofi contemporanei.

Il caso dell’indigeno descritto da Galton farebbe pensare all’identità rischiosa, per niente pacifica tra 2p (2 capre) e 4s (4 stecche di sigarette), pur dopo aver considerato acquisita l’equivalenza tra 1p e 2s. La natura “analitica” della conoscenza matematica sarebbe allora una concezione successiva, funzionale al metodo assiomatico di organizzazione della conoscenza, e conseguente ad un’istanza monistica, tesa a stemperare con una sorta di paracadute emozionale ogni trauma legato al cambiamento ed all’acquisizione conoscitiva.

Il secondo nucleo tematico è quello legato allo statuto ontologico dei numeri: nonostante le apparenza soggettivistiche e costruttivistiche della storia delle cifre, quest’ultima riguarderebbe la rappresentazione dei numeri e non la loro struttura profonda. Inoltre il sistema di numerazione posizionale con lo zero sembrerebbe aver reso autonomo l’universo dei numeri da ogni vincolo empirico, inverando in questo modo il platonismo matematico:

Il passaggio dall’abaco alla notazione posizionale trasforma le operazioni da atti in segni scritti, sostantivizzandoli e sostantivizzando le relazioni sottese alle operazioni stesse, relazioni che diventano entità.

i segni delle quantità ed i segni delle operazioni sono sullo stesso piano e tutti sono soggetti ad operazioni ancora più astratte.

L’astrazione ricorsiva (il cui propellente è l’immaginazione) evidenzia nuovi livelli ontologici

La matematica si trova a parlare di se stessa, contrariamente alla tesi hegeliana circa la sua natura irriflessiva.

Probabilmente la natura complessa del numero sarebbe uno dei tanti esempi in cui la dicotomia soggetto/oggetto in campo epistemologico mostra la propria sterile schematicità. E forse non è un caso che essa fosse presa spesso ad esempio dai Neopositivisti (soprattutto Carnap) della “insensatezza” della metafisica.

Il terzo spunto è legato al rapporto segnico tra la cifra ed il numero, che rinvia a sua volta al rapporto misterioso e metafisico tra segno e significato (“se tu sai che ‘quella’ è una mano, ti concediamo tutto il resto”, diceva Wittgenstein)

Questo rapporto è stato prima legato al mimetismo naturalistico o all’isomorfismo ingenuo;

poi si è formalizzato nel convenzionalismo (scrittura ieratica, sistema alfabetico greco-ebraico, cifre indiane): quest’ultimo non nega il realismo mimetico, ma lo sussume come già dato per concedersi liberamente alla stilizzazione del segno.

Infine con lo zero realismo e convenzionalismo sono superati da un realismo quasi magico, dove il Segno diventa la Realtà più profonda di ciò che è (forse non è un caso che lo Zero sia assimilato al Matto dei Tarocchi ed all’Uroboros alchemico).

Con la numerazione posizionale infatti ogni combinazione di cifre è un numero, cosa che equivale a supporre che ad ogni combinazione di lettere dell’alfabeto corrisponda un significato.

Con lo zero, i numeri si trovano ad avere una regione ideale a loro misura, dove assume uno statuto ontologico positivo qualsiasi entità che si possa collegare in qualche modo con quelle precedentemente riconosciute: i numeri irrazionali sono subito arruolati dagli Indiani assieme ai numeri negativi (le frazioni semplici che pure stentavano ad avere cittadinanza non avranno più alcun problema); dopo alcuni secoli sarà il turno dei numeri immaginari (Bhaskara li evitava solo per ragioni di convenienza: “Il popolo li disapprova!” così si scusava) e così via.

Presto sarà possibile un sistema unificato di pesi e misure a base decimale.

I numeri si contraggono in simboli, più manipolabili ed al tempo stesso più misteriosi; si passa dalla rappresentazione geometrica all’espressione algebrica dove è cosa ovvia collegare un’area, una lunghezza ed una costante e dove x⁴ è una quantità che non si ritrova in alcuna dimensione percepibile. E’ questo il passaggio che Hegel indicherà come quello dalla rappresentazione al Concetto (che, sarà un gioco di parole, corrisponde tradotto nel tedesco Begriff allo zero/purna indiano)

Presso gli Indiani lo stesso termine (Sunya) indica sia lo Zero sia l’Incognita algebrica (L’aoristos greco e cioè il massimamente invisibile), senza contare il fatto che lo Zero indiano è indicato sia da termini come Ananta (Infinito, Indeterminato) sia da termini come Purna (Intero, Perfezione). Da questa interrelazione di termini si può legittimamente inferire una serie di assunzioni ontologiche che più avanti si cercherà di esplicitare.

Certo dal “Vuoto” indiano scaturiscono associazioni imprevedibili, esenti probabilmente dall’obbligo di coerenza, terreno ideale per le libere associazioni che danno luogo alla creatività delle ipotesi. Le immagini e le idee possono esistere con una forma ed un significato ben definibili in una particolare scienza ed al tempo stesso possono essere continuamente sviluppate e reinventate da artisti operanti con scopi e visioni differenti.

Lo zero in un certo senso inaugura un’epoca in cui “essere” è “essere il valore di una variabile vincolata”.

Qui però si vogliono aggiungere delle ipotesi ontologiche magari azzardate che ricomprendano queste tre prospettive:

con il sistema posizionale infatti, come si è già detto, basta aggiungere un segno per aumentare il numero di un ordine. Ma

la progressiva astrazione del numero

la distinzione tra ordinali e cardinali

consentono di fare altre operazioni:

sono possibili più serie numeriche, tutte illimitate, che si sovrappongono e “slittano” le une sulle altre;

è possibile costruire serie illimitate con illimitate regole di costituzione, a tal punto che risulta impossibile dedurre da una serie numerica la sua propria regola di costituzione (il famoso paradosso di Kripkenstein)

è possibile riportare tutte queste serie a quella ordinale dei numeri naturali

ed è dunque possibile in una serie come 1,3,5,7...

che la seconda cifra sia 3

C’è inoltre in ogni serie numerica il mistero metafisico (che viene psicologisticamente spiegato) della conversione della successione in simultaneità, per cui arrivati ad un membro della serie (che sarebbe inspiegabilmente “l’ultimo”! E di che ?) noi abbiamo dinanzi a noi la serie intera (“sono sette!”), per cui viene da pensare che ogni numero presuppone tutti gli altri (o quanto meno quelli precedenti) come fondamento della propria essenza.

Tale problematicità di un processo ritenuto semplice ed ovvio si può evidenziare ripercorrendo un tratto della storia sin qui narrata:

nella notazione ad intaglio all’inizio i segni non erano comprensivi (ad ogni tacca corrispondeva cioè un solo elemento) e perciò 5 era così raffigurato IIIIV

poi la notazione divenne comprensiva per cui si scriveva I II III IIII V, ma ciò portava alla possibilità di un iper-computo esponenziale, per cui fu necessario che direttamente V stesse per 5. Ma ciò implicava che un (1) segno stesse per un quintetto (IIIII) e cioè per 5 cose. Dunque questo presupponeva una paradossale “unità della molteplicità”.

Queste possibilità, così apparentemente ovvie, fanno pensare anche al fatto che la prima cifra del sistema indo-arabo sia zero, cosa che consentiva ad uno dei calendari maya di continuare idealmente in maniera illimitata, quasi come la serie di numeri esplicita fosse incalzata come un’ombra dalla serie ordinale, che la anticipa sempre di nuovo come un orizzonte che non si riesce assolutamente a rimuovere dallo sguardo, per quanto si possa correre.

L’illimitatezza numerica

La sua natura molteplice e pluri-prospettica

L’esistenza dello zero

conducono ad una conclusione quasi assurda, che potrebbe spiegare però la natura magica e feconda della operazioni aritmetiche (tipo 5+1=6).

L’ipotesi è questa:

I numeri sono tra loro caratterizzati da un rapporto dialettico di identità-differenza ad un tempo per cui nelle tre serie di 5 unità, di 1 unità e di 6 unità (5+1=6) in qualche senso 1=6 (tant’è che nel linguaggio Api delle Nuove Ebridi 6 è “nuovo uno”).

Tale esito vertiginoso sembra supportato anche da un particolare tipo di operazione che con la sortita della “numero nullo” fu quasi subito intrapresa e cioè la divisione per zero. Tale operazione fu tentata dai matematici indiani con risultati sempre diversi: per Brahmagupta x/0=0, per Mahavira x/0=x, per Bhaskara x/0=Infinito o meglio khahara che sembra significare “lo zero che distrugge” nel senso che forse esso non cambia quale che sia il numero che gli si associa (Bhaskara per questo lo assimila a Brahma per la sua inalterabilità) Questa formula sembra appunto implicare l’identità di tutti i numeri tra loro. Infatti

Se 6x0=0 e 17x0=0

Allora 6x0=17x0

E dunque 6x0/0=17x0/0 e semplificando 6=17

Per questa possibile conseguenza x/0 è da molti matematici assimilato ad un non-senso. Ma questa non è l’unica conclusione possibile: Euler utilizzò tale numero (se così si può chiamare) nella sua interpretazione del calcolo infinitesimale. Perciò esso può svolgere almeno una funzione euristica e dunque l’identità dei numeri fra loro è una tesi metafisica che paradossalmente può avere ancora uno spazio, per quanto assurdo e contraddittorio esso possa essere.

Un percorso concettuale di questo genere è stato accompagnato si ad Oriente che ad Occidente da ontologie dell’Infinito, dell’Identità e della Contraddizione. Vale la pena abbozzare una cronologia:

· Nagarjouna nel II sec d.C. prende le mosse dalla filosofia della Sunyata, secondo la quale il Vuoto è pur esso Forma (corrispettivo filosofico dello zero come numero). Nel I sec. d.C. in una biografia del Buddha (il Lalithavishtara) viene toccato l’argomento dei grandi numeri. La Scuola Madhyamika di Nagarjouna tematizza il Catuskoti (le quattro alternative) dove viene relativizzato sia il principio di non-contraddizione che quello del Terzo escluso.

· Tra i primi secoli a.C. e i primi secoli d.C. la filosofia Jaina tematizza la pluralità di Infiniti. Essa poi teorizza le “sette possibilità” (Syadvada), tra le quali c’è quella per cui una cosa può al tempo stesso essere e non essere.

· Plotino nel III sec d.C., pur non parlando dello Zero, tematizza L’Uno che ha molte caratteristiche comuni con il Sunya buddhista (non è “qualcosa”, nè qualità, nè quantità, né Spirito, né anima etc.), mentre il Nous che dall’Uno procede è “tutto in tutto”

· Nel IV secolo d.C. viene compilato l’Avatamsaka sutra, testo buddhista dove viene asserito il “tutto in tutto”

· Chih-Yen (602-668 d.C.) buddhista cinese, afferma l’identità dei diversi numeri fra loro

· Fa-Tsang (VII sec.) buddhista cinese teorizza la presenza in un pelo di infinite entità

· Pseudo-Dionigi Areopagita nel V sec d.C. teorizza un Dio che è al di là di tutte le determinazioni.

· Nel IX sec. d.C. Fredegiso di Tours asserisce che il Nulla in qualche modo esista.

· Scoto Eriugena nel IX sec. d.C. teorizza Dio come Super-Essere che va oltre l’essere e il non-essere, e che è “tutto in tutto”

· Mahavira, matematico jaina, mette in relazione lo zero con il syadvada jainista.

· Bhaskara,(IX-X esc.d.C.) asserisce ad un tempo l’identità e la differenza tra Essere e mondo.

· Bhaskara (XII sec.), matematico indiano, afferma che x/0 è la quantità infinita ed è come il Brahman

· Eckhart, mistico renano del XIV secolo, afferma la nullità di tutte le creature ed al tempo stesso la loro comunanza profonda con Dio

· Nicola Cusano nel XV sec. teorizza la Coincidentia Oppositorum nell’Infinito

· GiordanoBruno nel XVI sec. proclama la positività in senso cosmologico dell’Infinito.

L’ingresso dell’Infinito in senso positivo e naturalistico e della Contraddizione come essenza della Realtà è quindi un processo che ha interessato Oriente ed Occidente ad un tempo e che forse non è indifferente all’evoluzione dei sistemi di numerazione.

Quello che si ipotizza in questa sede è che questa ontologia possa ancora servire oggi, dal momento che si sente l’esigenza di comporre le istanze pluralistiche del Relativismo e quelle oggettivistiche del Trascendentalismo e di evidenziare i presupposti che permettono il dialogo e la coesistenza tra diverse culture.