La scrittura ieratica egizia

La scrittura geroglifica egizia attribuiva cifre specifiche ad 1, a 10 ed alle potenze di 10, e poi le ripeteva tante volte quanto era necessario.

1-10-100-1000-10.000-100.000-1.000.000 etc.

Gli egizi dunque avevano come punto di riferimento gli ordini numerici:

Simbolizzando gli ordini in diversi modi (girino, spirale etc.) essi non avevano bisogno dello zero ma dovevano ripetere i simboli dei vari ordini fino a 9 volte ciascuno.

Ad es. 9.999.999 (7 segni nella nostra notazione) esigeva fino a 63 grafismi

Nella moderna notazione numerica il riferimento invece sono le cifre da 0 a 9 e le posizioni.

Dunque il fare a meno dello “0” costringe ad utilizzare simboli diversi per le diverse potenze (ordini) o quanto meno a porsi il problema dello spazio vuoto, cioè di come denotare la vuotezza di un certo ordine, di un certo livello numerico (come ad es. nel numero 101).

Sull’abaco era possibile uno spazio vuoto;

nella scrittura invece è tutto più ambiguo (quanto deve essere largo uno spazio vuoto? Quanto è riproducibile in una sequenza senza fare confusione? Gli Antichi avevano forse i nostri quaderni  a quadretti o le barre spaziatrici di una tastiera?).

Per risparmiare tempo gli Egizi elaborarono la scrittura ieratica e cioè un sistema, comunque additivo, di segni stilizzati  al massimo con piccoli tocchi rapidi o una sola pennellata.

La stilizzazione comporta il fatto che i segni siano avulsi da ogni intuizione visiva diretta ed eseguibili senza staccare il pennello:

i particolari figurati sono meno numerosi

i contorni sono ridotti all’essenziale

la somiglianza con i prototipi sempre più vaga

la possibilità di morfismi sempre più alta

In questo modo si perde il rapporto con la rappresentazione

Tale notazione ieratica (con la numerazione decimale e le cifre per i numeri da 1 a 9 e per le potenze di 10) era già utilizzata nel papiro di Ahmes; inizialmente essa era la stilizzazione degli ordini numerici geroglifici più l’accorpamento sempre stilizzato delle molteplicità interne ad ogni ordine numerico.

Alla fine nel suo pieno sviluppo tale notazione contava

9 segni per unità semplici

9 segni per le decine

9 segni per le centinaia

9 segni per le migliaia

36 segni (difficili da ricordare)

invece dei 7-8 geroglifici

invece dei 10 segni nostri

Ma che consentivano di scrivere (in ordine inverso) 3577 con 4 cifre ( 7-70-500-3000) invece che in 22 come nel geroglifico ( 7x1-7x10-5x100-3x1000).

Notazioni numeriche alfabetiche

Anche gli scribi israelitici ed i matematici greci si dotarono di notazioni numeriche equivalenti allo ieratico egizio, ma utilizzarono le lettere (in ordine consecutivo) dei rispettivi alfabeti.

L’alfabeto fu l’ultimo perfezionamento della scrittura adattabile ad ogni inflessione di ogni lingua articolata e dava la possibilità di scrivere tutte le parole con un piccolo numero di segni fonetici (lettere).

Esso fu opera dei Fenici, commercianti spinti da un bisogno comprensibile di concisione.

Il commercio diede diffusione al loro sistema:

sulle coste mediterranee (Greco, Latino, Etrusco)

a sud ( Moabiti, Ebrei, Nabatei )

a est ( Aramei, Siria, Persia, India)

Ci fu dunque  un tentativo di sovrapporre ordine alfabetico ed ordine numerico.

Ebrei usarono numerazione alfabetica

Per le date del calendario

Per i paragrafi dell’Antico Testamento

Per le pagine delle opere scritte

Ebraico

352= beth+nun+sin (2+50+300)

C’era un tabù sui numeri 15 e 16

Infatti essi non erano raffigurati tramite yod+he (10+5) e yod+waw (10+6)

Questo perché yod+he+waw+he (JHWH) era il nome di Dio, che era pregno di energia e quindi tabù.

Per 15 e 16 si utilizzavano

Waw+teth (6+9)  e   zain+teth (7+9)

Questo fu uno dei primi esempi di operazione casuale non costituita sulle basi numeriche solite.

Per distinguere i numeri dalle lettere, si metteva sulla lettera che significava il numero un piccolo puntino o un apostrofo, oppure una linea su gruppi di lettere o un doppio apostrofo a sinistra della lettera (virgolette?)

Inoltre per i numeri da 400 in poi si combinava Tav (400) con centinaia già note.

Oppure

Si utilizzava, come faceva la Kabbalah, Kaf (20) Mem (40) Nun (50) Pe (80) Sade (90) con al termine un particolare modificato.

Per le migliaia si mettevano su ogni lettera due punti (x1000) fino a 999.999.

I Greci invece nel IV-V sec. a.C. presero le 24 lettere dell’alfabeto a cui aggiunsero Digamma, San e Koppa (origine fenicia) e dunque costituirono 27 segni (3x9)

9 per le unità

9 per le decine

9 per le centinaia

Questo sistema sostituì progressivamente quello acrofonico erodiano di cui abbiamo già parlato precedentemente.

Es. 645= ΧΜΕ (600+40+5)

Il principio è sempre additivo e non posizionale.

Infatti mentre in 645 il simbolo 6 sarebbe lo stesso anche se cambiasse di posto con il 4 (465)

Nella notazione greca da Χ si trasformerebbe in Ξ (ΤΞΕ) perché non sarebbe più 600 ma 60, differenza che nel sistema posizionale non ha conseguenze grafiche.

Per distinguere le lettere dalle cifre, queste ultime sono rappresentate con un tratto orizzontale soprastante.

Da 1000 a 9000 sono usate le lettere significanti da 1 a 9 aggiungendo un apostrofo a sinistra (Boyer interpreta generosamente questo metodo come un inizio di posizionalità)

Questa consuetudine fu anch’essa  mutuata probabilmente dallo ieratico egizio.

E’ bene ricordare che l’influenza della matematica egizia su quella greca riguardò oltre la notazione numerica anche l’elaborazione di progressioni geometriche con frazioni unitarie sempre più piccole che forse ispirarono i famosi paradossi di Zenone.

Ebrei hanno influenzato Greci o viceversa?

Sarà il caso di precisare prima che l’antenato comune è sicuramente la scrittura ieratica egizia.

311-310 a.C. papiro greco di Elefantina.

286-246 a.C. monete di Tolomeo II Filadelfo

78 a.C. monete della dinastia asmonea in Israele.

Nel contempo alcuni hanno notato che numerosi brani dell’Antico Testamento indicano che i loro estensori erano versati nell’arte di cifrare le parole per mezzo dei valori numerici delle lettere ebraiche. A questo punto o l’utilizzo dei numeri con le lettere più antico risale all’ VIII-VI secolo a.C. o i testi biblici sono meno antichi di quanto si pensasse.

Comunque è indubitabile la comune ascendenza egizia.

La numerazione alfabetica greco-ebraica ebbe nel Mediterraneo orientale il ruolo che la numerazione latina ebbe nel Mediterraneo Occidentale.

Tale numerazione ha comportato un valore numerico per ogni parola o gruppo di parole.

Poi ha incoraggiato quella pratica poetica, mistica e religiosa che viene chiamata isopsefìa presso gli Gnostici greci e ghematrìa presso i Cabalisti ebraici.

Anche se il collegamento tra scrittura e notazione numerica è molto più antico:

Nel I sec. d.C. il poeta Leonida di Alessandria versifica distici ed epigrammi isopsefi (nel distico la somma dei valori del primo verso doveva essere uguale alla somma dei valori del secondo verso).

Tale parallelismo lettera/numero si ripercuote anche nelle somiglianze in diverse lingue tra termini quali “conta, contare” e termini come “racconto, raccontare”

Italiano               Contare            Raccontare

Tedesco            Zahlen              Erzahlen

Francese            Conter             Conter

Ebraico            Saphor             Saper

Cinese              Shu                  Xushu

Presso gli Arabi invece erano diffusi i cronogrammi per fare commemorazioni.

Es. Anno del distacco di Ahmed ibn Ali ibn Abdallah, eroe del Nord-Ovest marocchino dal potere alawita = 1335. 1335 diventa 94+331+90+761+59 e cioè “Maometto salva il mondo dalla miscredenza”.

Si sviluppa in tal modo la numerologia, metodo di interpretazione /previsione/speculazione magica.

Esempi:

Gli alfabeti cifrati furono anche conseguenza di questa pratica.

La numerazione alfabetica risolse in parte il problema delle cifre.

Ad es. 768 si poteva scrivere in 3 cifre piuttosto che in 21

 rimanendo fermi però ad un principio additivo che limitava le possibilità della numerazione scritta.

Numerazione cinese

I Cinesi invece utilizzavano 13 segni, usati a partire dal III sec. a.C.

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-100-1000-10000

1=  - (yi)             9= מ  (jiu)                       100= �(bai)                                

2= = (er)               10= † (shi)                       1000= ‡ (qian)

3=  @  (san)            20= Ü (vecchio simbolo)      10.000 = " (wan)

4= Ì (sì)

5=fi  (wu)

6=¥  (liù)

7= Ł  (qi)

8= Л  (ba)

I segni cinesi per i numeri

non sono  cifre, ma caratteri in lingua cinese

Segni/parole che esprimono

sia un valore ideografico

sia un valore fonetico

dei nomi cinesi dei numeri corrispondenti

Essi sono rappresentazioni grafiche dei seguenti monosillabi cinesi

yi   er   san   sì   wu   liù   qi   ba   jiu   shi        bai         qian        wan

Segni numerici rappresentazione semplicissima a tutte lettere dei numeri corrispondenti

Es. italiano: uno,due,tre,quattro,cinque etc.

In cinese poi le cifre sono rappresentate in diversi modi

·        Grafia classica (o scrittura cinese moderna), il kaishu (scrittura semplice codificata nel IV sec.d.C.), inserita nelle opere letterarie, scientifiche ed a stampa.

·        Grafia più complicata, il guanzi (cifre ufficiali), che si usa nei contratti e negli assegni.

·        Forma corsiva e concisa xing-shu (o caoshu) che si usa nei manoscritti.

·        Ci sono poi i cosiddetti “numeri-bacchetta” o “numeri-asta” per il lavoro matematico-scientifico, usati dal II secolo a.C. Venivano usate bacchette rosse e nere che rappresentavano numeri positivi e negativi (e per questo motivo la matematica cinese è stata una delle prime ad elaborare motivi algebrici e forse ad influenzare in questo l’India). Da questi numeri-bacchetta è probabilmente derivata infine la scrittura segreta crittografica (ganmazì nganmà)

Nel sistema numerico cinese nel rappresentare i numeri da 11 a 19 si usava 10 ed a destra  si mettevano i numeri che al 10 si dovevano addizionare (metodo additivo)

Esempio

† = 14 = (†) + ( )

Invece da 20 si sperimenta un metodo moltiplicativo (già usato in Mesopotamia ed Egitto) per cui 20 è 2x10: il moltiplicatore della base di riferimento si mette a sinistra  (e non a destra come nelle procedure additive).

Es. 20 diventa ( = †) che corrisponde a [(=) x (†)] e cioè 2x10.

21 invece diventa (= † −) che corrisponde a [(=) x (†) + (−)] e cioè 2x10+1   

79.564 = qi wan  jiu qian  wu bai liù shi sì = (7x10.000)+(9x1000)+(5x100)+(6x10)+4

In questo modo

Si evitavano le fastidiose ripetizioni di segni identici

E l’uso di troppi simboli originari.

Il principio moltiplicativo consentiva di arrivare sino a 999.999.999.999.

10.000= yi wan = 1x10.000

100.000 = shì wan = 10x10.000

1.000.000= yi bai wan = 1x100x10.000

10.000.000= yi qian wan = 1x1000x10.000

100.000.000= yi wan wan = 1x10.000x10.000       

487.390.629

sì wan wan ba qian wan qi bai wan san shì wan jiu wan liù bai er shì jiu

(4x10.000x10.000)+(8x1000x10.000)+(7x100x10.000)+(3x10x10.000)+(9x10.000)+(6x100)+(2x10)+9       (19 segni)

Ma c’erano altri modi più economici ma più ambigui per esprimere ad es. lo stesso numero

yi wan sì wan ba qian qi bai san shì jiu  liù bai er shì jiu

10000 x [(4x10.000)+(8x1000)+(7x1009+(3x10)+9] + (6x100)+(3x10)+9        (16 segni)

In pratica si può pensare che l’inizio di formule polinomiali sia collegabile all’esigenza di rappresentare i grandi numeri stessi. Questo però rendeva il sistema di notazione più macchinoso e incoraggiava la scoperta di soluzioni più semplici. Inoltre il calcolo era comunque demandato all’abaco e perciò appannaggio di pochi specialisti.

Il sistema posizionale

Le ragioni della superiorità del sistema numerico che si è diffuso dall’India sono il principio posizionale (che di per sé denota i diversi ordini numerici) e lo zero (che colmava i vuoti in un sistema posizionale). Un sistema posizionale è un naturale e sistematico sviluppo del sistema moltiplicativo in cui viene usata una base fissa, spariscono come superflui determinativi e moltiplicatori e dove il coefficiente è rappresentato dalla posizione della cifra nell’intera rappresentazione numerica.

Le altre notazioni dovevano dare ad ogni cifra un valore fisso a prescindere dalle posizioni. Noi no..

Nella numerazione cinese i segni per 7829 sono 7 mentre per noi sono 4.

Nel nostro sistema sono soppressi gli indicatori delle potenze di 10 e le cifre delle unità prendono diverso valore a seconda delle posizioni  (mix ideale tra il numero di cifre e la necessità di iterazione delle stesse).

In questo modo il linguaggio scritto comunica una fitta rete di concetti mediante semplice permutazione di pochi simboli. Se si usano invece i numeri romani non c’è una notazione che abbia efficacia algoritmica (non è possibile cioè fare operazioni se non  ricorrendo ad un supporto esterno, tipo l’abaco).

Il sistema posizionale invece consente una comoda esecuzione di operazioni aritmetiche:

si mettono i numeri da sommare uno sotto l’altro

li si può addizionare colonna per colonna riportando i totali eccedenti il 10 nella colonna a fianco (ordine superiore)

Questo sistema è anche una sorta di metafora ontologica e sociale

di una gerarchia funzionale (e non rigida e letterale come quella egizia con i diversi ordini numerici irriducibili gli uni agli altri)

di livelli ontologici che funzionano come vasi comunicanti ed in cui c’è il passaggio dalla quantità alla qualità ed in cui c’è il novum.

Sistema posizionale e zero mesopotamico

Le civiltà mesopotamiche furono le prime ad intuire sia il principio posizionale sia lo zero (inizio II millennio a.C.).

Essi avevano però un sistema sessagesimale misto con il 10 ausiliare (introdotto probabilmente nel Primo Impero Babilonese), dove la base ausiliare vedeva una numerazione additiva e dove la numerazione posizionale partiva solo da 60 in poi, per lasciare il posto alla numerazione additiva tra una potenza e l’altra di 60.

Dunque solo con la sessantina si andava all’ordine superiore all’unità

mentre il terzo ordine si raggiungeva addirittura con 60x60.

C’era dunque una distanza eccessiva tra i diversi ordini numerici

e c’erano due sole cifre

il chiodo verticale (unità) ˆ

un punzone (decina)         |

Ripetuti n volte per ottenere il numero desiderato

19 = |  ˆˆˆ             58 = ||   ˆˆˆ            5x10+8x1

             ˆˆˆ                                ||   ˆˆˆ     

             ˆˆˆ                     |      ˆˆ                

69 non era |||   ˆˆˆ    ma       ˆ   ˆˆˆ            (1x60)+(9x10)

                  |||   ˆˆˆ                ˆˆˆ

                           ˆˆˆ                ˆˆˆ

A questo proposito è significativo dell’uso del principio posizionale il mito della pietra nera di Asarhaddon (680-669 a.C.) dove Marduk pietoso inverte le cifre del numero degli anni in cui Babilonia sarebbe dovuta essere abbandonata dopo la distruzione di Sanherib (Sennacherib)

Gli anni da 70 (ˆ|) diventano 11 (|ˆ).

Questo aneddoto è poi legato alle implicazioni quasi magiche del sistema posizionale, di cui poi in seguito parleremo.

1 valeva al primo posto 1

Al secondo 60

Al terzo 60x60  etc.

72 = ˆ|ˆˆ              (1x60)+(1x10)+(2x1)

1000 = |ˆˆˆ||               (10x60)+(6x60)+(4x10)

               ˆˆˆ||   

174.012 =  ||ˆˆˆ|| |ˆˆ            (4x10x60x60)+(8x60x60)+(2x10x60)+(1x10)+(2x1)= 174.012

              ||ˆˆˆ                144.000+28.800+1200+12

                  ˆˆ 

Nel calcolo sessagesimale è come fare il computo del tempo

174.012 è come 48h 20’ 8”.

Gli inconvenienti di questo sistema sono

1        Tra 2 (ˆˆ) e 61(ˆˆ)

2        Tra 23 (||ˆˆˆ) 613 (||ˆˆˆ) 36.603 (||ˆˆˆ)

            2x10+3      1x10x60+1x10+3     1x10x3600+1x10x60+3

C’era insomma la difficoltà di sapere come vanno distinti gli ordini nei quali vanno raggruppati i segni. Infatti il sistema misto additivo-posizionale presenta anche il problema di distinguere, in presenza di più segni, se ci troviamo di fronte a più ordini o a più unità interne ad un ordine.

ˆˆˆ ad es. sarebbe 3, 121, 62, 3661 o altro?

Dunque il sistema rischiava di essere ambiguo e di generare errori.

All’inizio i segni degli ordini superiori venivano rappresentati di dimensioni più grandi. Spesso però la fretta della scrittura abituale non consentiva di rispettare tali differenze nelle dimensioni

La soluzione successiva pure dava l’impressione di un rattoppo: era cioè uno spazio vuoto tra un ordine e l’altro (alla maniera dell’abaco e del quipu).

Esempi:

132 = ˆˆ|ˆˆ            (60x2)+(1x10)+(2x1)

3672 = ˆ  ˆ|ˆˆ            (1x60x60)+(1x60)+(1x10)+(2x1)

Come si vede il problema del sistema posizionale è la mancanza dello zero.

Infatti se si usa il principio di posizione c’è bisogno di un segno grafico speciale per rappresentare un ordine numerico vuoto.

Ad es. con 10 come si fa a sapere che l’1 riempie il secondo ordine numerico se non c’è un simbolo che denoti il primo ordine numerico sia pure vuoto?

Questa mancanza, questo vuoto doveva per forza essere rappresentato da qualcosa, in questo caso lo zero.

Inizialmente i Babilonesi ignoravano tale concetto, come abbiamo visto.

Ma la tecnica di utilizzare un semplice spazio vuoto non consentiva una scrittura fluida e rapida, giacché sanzionava eventuali distrazioni nella scansione degli spazi con l’ambiguità semantica.

E poi come si simboleggia l’assenza di due o più cifre in altrettanti ordini numerici?

Si evidenziano due spazi vuoti? E come si fa? Si richiederebbe troppo alle facoltà percettive.

Nel VII secolo cominciò probabilmente ad essere utilizzato un segno di interpunzione tra ordini numerici: il segno utilizzato era una virgola che sanciva in altri documenti scritti il passaggio da una lingua all’altra.

Nel III sec. a.C. allora compare il più antico zero della storia, quello babilonese appunto.

((  Due segni (cunei) obliqui appaiati o parzialmente sovrapposti.

Tale cifra però non fu concepita come una quantità, un numero nullo su cui operare.

Es. 20-20 (20meno20) non ha in questo sistema un risultato.

Ed in una distribuzione di granaglie invece di dire “il risultato è zero”, a Babilonia si dice “Il grano è finito”.

Lo zero babilonese veniva messo negli spazi vuoti tra i simboli

Esso dunque sta per spazio (oppure ordine) vuoto, ma non c’è coincidenza tra spazio vuoto e un nulla (uno zero), tra lo zero babilonese e “10 meno 10”.

Lo zero non veniva generalmente messo alla fine del numero (come da noi con 10,100,1000 etc.) anche se questo fu spesso incoraggiato (alla fine, ma anche all’inizio della cifra) dagli astronomi che lo utilizzavano per rappresentare frazioni tipo 34/10 o numeri come 0,5 (questa consuetudine fu ripresa pari pari dall’Ellenismo).

Nella grande maggioranza dei casi dunque non si sapeva se un simbolo, preso da solo, rappresentasse il proprio valore facciale immediato (es. ˆ= 1) o se fosse il prodotto del valore facciale per una potenza di 60 (es. ˆ= 60x60= 3600).

C’è da dire che zero sarebbe stato difficile da trattare e da utilizzare ad es. come operatore nella formazione delle frazioni (non c’è divisione per zero).

Lo zero ellenistico

Molti storici della matematica suppongono che lo zero nella sua forma attuale sia stato portato in India dalla cultura ellenistica (e spesso Ellenismo per questi storici significa “ideologicamente” Grecia), giacché questo segno lo ritroviamo già nei papiri ellenistici del III sec a.C. e poi in Claudio Tolomeo nel 150 d.C.

Addirittura alcuni studiosi (come L.Russo) ipotizzano che quella “greca” sia stata una sorta di anticipazione interrotta ben più consapevole della presunta “scoperta” indiana.

In questa sede non entreremo in questa polemica storiografica che rinviamo a dopo, quando tratteremo del ruolo dell’India in questa articolata storia delle cifre.

Quello che è importante discutere in questa sede è l’origine del segno attuale che sta per lo zero, è cioè il tondino vuoto.

Per alcuni l’origine è acronimica, nel senso che 0 starebbe per la “o” (omicron) di oudén (gr, “niente”) tanto è vero che in epoca bizantina, quando “niente” era reso più spesso con medén il simbolo utilizzato era la “Mi”greca (μ).

A questa tesi Neugebauer obietta che se fosse stato così ci sarebbe stata confusione tra “o” intesa come zero e “o” intesa come 70 nel sistema alfabetico-numerico greco.

A questa obiezione di Neugebauer si è controbiettato che anche in altri casi il rischio di confusione è stato ugualmente corso: sia Diofanto per designare un segno che indicasse una separazione tra le decine di migliaia ed i numeri più piccoli (monas), sia astronomi contemporanei di Archimede, per designare i gradi (moira) hanno utilizzato lo stesso segno e cioè la Mi con l’omicron sovrapposto che può indicare anche il numero 700.000. Un’altra ipotesi sull’origine del segno è quella che esso rappresenterebbe la forma grafica della traccia lasciata sulla sabbia da un ciottolo (psephos) appena tolto.

A questa polemica si possono fare alcune osservazioni:

·        La distinzione tra moira, monas e il numero 700.000 è più facile di quella tra zero e 70.

·        In un sistema dove la posizione della cifra non conta nulla, il simbolo conta moltissimo, ed è quindi essenziale che non si confonda con altri.

·        La distinzione tra zero e 70 non conta nulla se lo zero viene utilizzato solo nella numerazione sessagesimale (in quanto 70 in tal caso è graficamente 60+10) e/o se zero  costituisca solo un segno di interpunzione o indicante l’assenza del numero, ma non un numero determinato (ipotesi corroborata dalla natura fortemente decorativa delle sue rappresentazioni grafiche, dall’utilizzo della tecnica “archeologica” e “crittografica” dell’acronimico e proprio dall’utilizzo quasi esclusivamente astronomico e “sessagesimale” di questo segno)

·        E’ possibile formulare un’altra ipotesi sull’origine del segno:

1.      Inizialmente fu coniato in ambito neo-babilonese un segno per distinguere i diversi ordini numerici, segno che poi servì per indicare l’assenza di elementi in un ordine numerico interposto tra altri due ordini.

2.      Nel momento in cui fu usato un segno di interpunzione, in Egitto (è questa l’ipotesi) analogamente fu usato l’ideogramma della bocca (‘r) o il segno ieratico dell’apostrofo che indicavano il segno di frazione (e quindi anche di divisione e di separazione grafica)

3.      Da questi due segni derivano il tondino e l’apostrofo o il punto usati per scopi simili in ambito greco-ellenistico.

4.      Il termine moira  simboleggiato da “Mo” ed indicante “grado” (oggi non a caso simboleggiato da “°”) vuol dire significativamente “parte assegnata” e rinvia all’ideogramma egizio suddetto (frazione).

5.      I Greci forse non  hanno aggiunto niente alle intuizioni precedenti che non rientri nelle sortite felici di un ricco sistema di interazioni culturali.  

Sistema posizionale e proto-zero cinese

In Cina durante la dinastia Han (II sec. a.C. – III sec. d.C.) fu elaborato un ingegnoso sistema di numerazione scritta con base decimale con le nove unità semplici descritte ancora pittograficamente

I   II    III     IIII    IIIII  ┬   ╥  ╥    ╥  

(Su vantaggi e svantaggi della rappresentazione pittografica e di quella convenzionale dei numeri torneremo a livello di riflessioni più propriamente filosofiche).

Questo arcaico simbolismo numerico era ovviamente derivato dalle tacche su legno o su guscio di tartaruga e fu riprodotto anche sulle macchine da calcolo dei suanpan  (abachi) e sulle bacchette di calcolo che, come abbiamo visto, pure erano molto utilizzate.

Sempre sotto gli Han fu scoperto il principio posizionale

Es. 6742 = ┬ ╥  IIII  II

Però rimaneva il rischio di confusione perché si era vincolati ad affiancare altrettante barre verticali per rappresentare unità di ordini consecutivi con rischi di confusione e di errori:

Esempi:

IIII III IIII = 434    I III III IIII = 1334.

Nel caso precedente la differenza si vede agevolmente?

Tra le altre cose forse la numerologia oltre al parallelismo greco-ebraico tra lettera e numero si basava anche su questa arcaica confusione tra numeri.

Per rimediare si preferì cambiare notazioni :

Per le unità semplici le barre non si disponevano più in verticale ma in orizzontale e viceversa funzionava il loro incremento.

Esempi:

─   ═   ≡   ≡   ≡    ┴ ╧   etc.

                 ─   ═        

Poi siccome i ben noti problemi percettivi si ripresentavano nuovamente, ci fu una seconda trasformazione  per cui i diversi ordini numerici venivano rappresentati in modo alternato con barre verticali (unità, centinaia etc.) dette numeri tsung e barre orizzontali (decine,migliaia) dette numeri heng.

Esempi:

522 era  IIIII  ═   II

76.231   era      ╥  ┴  II  ≡  I

Alcune ambiguità erano così eliminate ma, ugualmente la mancanza dello zero rendeva difficile distinguere notazioni del tipo 2666 o 26660 oppure 266600 etc.

Anche qui vi fu chi lasciò uno spazio vuoto, insufficiente per le ragioni già esposte

E vi fu anche chi utilizzò le potenze di 10 correggendo con un’involuzione  in senso moltiplicativo l’originario sistema posizionale.

Es.     2640  diventa II  ┴  IIII  …     e cioè  264 x10 (con 10 usato come moltiplicatore o determinativo “decine”)

20.064 diventa   II (x10.000 con relativo ideogramma) ┴ IIII                               

(2x10.000)+64

Anche in Cina nacque comunque una sorta di zero

Alcuni computisti disposero i numeri in dei riquadri tipo tessere che forse stavano per gli ordini numerici (ad imitazione delle asticelle del suanpan ) e

lasciavano la casella vuota (come l’insieme vuoto) per ogni unità che mancasse nel rispettivo ordine.

Comunque, dall’VIII sec. d.C. i dotti cinesi grazie ai monaci buddisti missionari dall’India ebbero lo zero indiano vero e proprio.

Sistema posizionale e zero presso i Maya

Anche i Maya furono degli elaboratori indipendenti del principio posizionale e dell’uso dello zero.

La civiltà maya fu molto sviluppata ed originale.

I Maya furono raffinati astronomi:

ebbero un’esatta concezione dei moti Sole-Luna-Venere  e forse anche Marte-Mercurio-Giove

calcolarono la rivoluzione sinodica di Venere

calcolarono la durata dell’anno solare con migliore approssimazione del calendario gregoriano

calcolarono la durata delle lunazioni

elaborarono l’idea del tempo senza limiti

lasciarono l’iscrizione con il riferimento più lontano nel passato e con precise indicazioni dei giorni iniziali del periodo cui si allude

usavano per le osservazioni astronomiche listelle di legno incrociate con un tubo di giadeite

Essi però ignoravano il vetro, la ruota e le frazioni.

I numeri maya erano così rappresentati:

• = 1                            ••••• = 5          ▬   = 9

••= 2                ▬   = 6            ═    =10          

••• = 3             ▬   = 7            ═    =11

•••• = 4            ▬   = 8                    =20

Dal 20 in poi (il sistema maya era a base vigesimale) scatta il principio posizionale che viene ordinato verticalmente con l’ordine superiore al livello grafico superiore.

Esempio 69   •••       3x20

                     ••••      (4x1)+ (1x5)

Il primo livello è 1

Il secondo è 20 (1x20)

Il terzo livello è invece 360 (20x18)                       sarebbe stato 400 (anche qui c’era una base ausiliare 60? Per influenza dei calcoli astronomici e calendariali?)

Il  quarto livello è 7200 (360x20)

E così via.

Sempre in una disposizione posizionale verticale il numero 13.515 era

(1x7200)+(17x360)+(9x20)+ 15(3x5)            7200+6120+180+15=13.515

Anche i Maya per indicare un ordine numerico vuoto inventarono lo zero

Usando diversi glifi per lo più a forma di conchiglia (forse il simbolo della spirale? O per indicare un guscio vuoto?)

43.212 = (6x7200)+0+0+12(2x5+2x1).

Una delle cause però dell’introduzione dello zero fu strettamente religiosa:

per i Maya infatti la numerazione scritta non riguardava i bisogni del calcolo corrente, ma solo le esigenze del calcolo temporale e delle correlative osservazioni astronomiche.

I Maya calcolavano il tempo come se fosse in gioco la loro vita.

Essi avevano numerosi calendari

L’ossessione dei Maya per il calcolo (simile in questo ai Pitagorici, a Galton ed agli affetti da autismo) era legata all’angoscia della morte e della fine del tempo: l’esistenza di più cicli temporali consentiva di sfuggire alla fine di un computo, abbarbicandosi ad un altro ciclo.

Il nesso tra computo del tempo e mondo divino rendeva, più che in altre civiltà, la numerazione appannaggio dei soli sacerdoti (che erano anche astronomi) senza rapporti con altre dimensioni come ad es. quella del commercio che tanto stimolava la ricerca di soluzioni pratiche e razionali.

Il tempo era un fenomeno sovrannaturale, apportatore di fortuna e sfortuna a seconda del dio (benefico o malefico) preposto a quel periodo temporale (lo stesso schema dell’astrologia probabilmente). I sacerdoti erano mediatori potenti tra dei e popolo

Le scansioni temporali erano così determinate:

inizio del computo: 12 Agosto 3113 a.C.(o 3114)

kin = giorno (sole)

uinal = mesi (20 giorni ciascuno)

tun  = anni (360 giorni ciascuno) (pietra, e cioè stele che scandisce il tempo)

katun = cicli (20 anni ciascuno)

baktun = 400 anni

pictun = 8000 anni

fino all’alautun = 64.000 anni.

Un importante monumento è la stele maya A di Quirigua dove è riconoscibile lo zero e che risale leggendo lo scritto a 1.418.400 giorni dall’inizio dell’era Maya e cioè al 24 Gennaio del 771 d.C.

Sulla stele troviamo

9 baktun 17 katun 0 tun 0 uinal 0 kin

Perché?

Perché non c’erano direttamente 9 baktun e 17 katun?

Sarebbe stato possibile perché con i determinativi temporali non ci troviamo di fronte ad un sistema posizionale puro e dunque non c’è bisogno degli zero al termine del numero  

Se non che ad ogni unità di tempo corrispondeva la raffigurazione di un dio che presiedeva a tale ordine temporale e che alla maniera di Atlante si caricava il numero collegato all’ordine temporale/numerico considerato.

Ad es. in questo caso il dio che presiedeva ai baktun se ne caricava 9, quello dei katun ben 17.

A questo punto se al periodo, come nel caso dei tun. dei uinal e dei kin, che era privo di numero non fosse stato corrisposto un simbolo, gli dei preposti ai tun, ai uinal e ai kin rischiavano di non essere raffigurati e forse si sarebbero offesi mortalmente

(aggiungiamo che la rappresentazione figurata sarebbe stata incompleta ed esteticamente improponibile per un popolo pieno di horror vacui come quello Maya)

Perciò si dovette escogitare un simbolo per consentire agli dei di caricarsi il niente! Quasi come ministri senza portafoglio nominati per esigenze di lottizzazione politica!

Questo omaggio alle divinità aveva implicazioni ambigue, in quanto da un lato evitava l’offesa agli dei, ma al tempo stesso implicava il rischio che nel passaggio da un mese all’altro, la staffetta tra dei aprisse la possibilità di una lacerazione del tempo:

 infatti i mesi dell’Haab iniziavano con questa fase intermedia, rappresentata da zero, grazie alla quale il ventesimo giorno del mese era il giorno 19 e grazie alla quale, forse, il tempo era costretto a scorrere indefinitamente allungandosi ad inseguire se stesso ed a rinviare per sempre il redde rationem dell’intero cosmo maya. La fine scongiurata però implicava un inizio sempre rischioso ed abissale.

 Senza contare che il 20 era in effetti un nuovo zero, un nuovo passaggio, un completamento che era al tempo stesso un inizio (l’analogia tra zero e 20 era data dal rapporto tra il simbolo della conchiglia e quello della luna, mentre non a caso il numero 1 era simboleggiato dalla giovane luna crescente). Le implicazioni filosofiche di questa ipotesi storiografica saranno discusse appresso.

Ovviamente i sacerdoti Maya colsero anche i vantaggi aritmetici di questa nuova simbolizzazione e la riportarono poi semplificata (senza glifi religiosi indicatori dell’ unità di tempo) sui loro manoscritti.

Purtroppo però un inconveniente impedì ai Maya di avere uno zero con possibilità operazionali:

infatti il passaggio dal secondo al terzo ordine numerico era diverso da tutti gli altri come abbiamo già visto ( il moltiplicatore era x18 e non x20).

Zero per noi è un operatore aritmetico (es. 460 = 4x100+6x10+0)

la cui scrittura si ottiene affiancando “0” a 46 e cioè spostando (facendo scalare) di un ordine tutte le cifre a salire.

Lo zero alla fine di un numero ha una funzione esplicitamente molto diversa da uno zero tra due cifre di un numero: in questo secondo caso all’assenza dello zero si può ovviare allargando gli spazi ed evidenziando uno spazio vuoto. Nel primo caso come si fa?

Nel primo caso inoltre lo zero o gli zeri alla fine sono l’indizio di un’operazione come quella del prodotto (x10 x100 x1000 etc.), mentre il secondo esempio nasce da una pratica inizialmente fatta esclusivamente sulle cifre, senza alcun riferimento al significato numerico.

Se nei Maya la numerazione fosse stata strettamente vigesimale, essa avrebbe avuto le stesse proprietà di quella indo-araba: l’aggiunta di uno zero ad una rappresentazione numerica avrebbe moltiplicato per 20 il valore numerico di quest’ultima.

Come adesso sappiamo, così non è stato.

Conclusioni

Dunque Babilonesi, Cinesi e Maya con il principio di posizione già furono capaci di rappresentare qualsiasi numero con una limitata quantità di cifre di base:

·        I babilonesi non associarono cifre diverse alle 59 unità significative del primo ordine, ma iteravano i due simboli disponibili. Essi purtroppo non concepirono lo zero né come numero (quantità nulla) né come operatore aritmetico.

·        I Cinesi mantennero la notazione ideografica e reintrodussero elementi di notazione moltiplicativa. Inoltre il loro uso dello zero fu sporadico e poco significativo.

·        I Maya con l’anomalia del moltiplicatore del terzo ordine numerico persero la possibilità di utilizzare lo zero come operatore.

Perché il nuovo sistema posizionale manifestasse tutte le sue positive potenzialità bisognava aspettare la grande esperienza indiana.